Demostrando un resultado En Jones (1999), "el Crecimiento: Con o Sin Efectos de Escala"

Question

Jones (1999) construye su semi-modelo de crecimiento endógeno, en donde la producción se produce con solo una entrada, mano de obra, en los siguientes "investigación" de la función:

$ $ $ Y = A^\alpha L_Y $$

El trabajo se complementa con la tecnología de $A$ , que también es investigado por los trabajadores, $L_A$, en la siguiente función de producción:

$$ \dot{A} = \delta L_A A^\phi. $$

Tenemos que $L_A + L_Y = L$ y $0 < \phi < 1$.

Entonces escribe:

Suponiendo que la fuerza de trabajo L crece en una constante exógena de la tasa de $n$, es fácil mostrar que existe un estable crecimiento equilibrado ruta de acceso para el modelo en el que

$$ g_A = \frac{n}{1-\phi}$$

y

$$ g_Y = \sigma g_A = \frac{\sigma n}{1-\phi} $$

Él dice que es "fácil mostrar", pero no puedo por la vida de mostrarlo! Sabemos que $g_A = \dot{Un}/A$, y en la senda de crecimiento equilibrado $g_A = g_Y = g_L = $ n. Así que trate de conectar $g_A = \delta L_A A^{\phi-1} = n$ pero que me lleva a ninguna parte.

Answer 1

Hay más de una manera para obtener la fórmula para $g_A$ con un crecimiento constante: la siguiente es una forma de encontrar conceptualmente simple. A partir de su $g_A=\delta L_A A^{\phi-1}$, diferenciando con respecto al tiempo (usando el producto y la cadena de reglas) y (para un constante crecimiento) establecer el resultado a cero:

$$\dot{g_A}=0=\delta[A^{\phi-1}\dot{L_A}+L_A(\phi-1)^{\phi-2}\dot{Un}]$$

Dividiendo por $\delta L_AA^{\phi-1}$:

$$0=\frac{\dot{L_A}}{L_A}+(\phi-1)\frac{\dot{A}}{Un}=n+(\phi-1)g_A$$

$$g_A=\frac{n}{1-\phi}$$

Para el crecimiento de la producción por trabajador, y suponiendo que $L_Y$ como $L$ crece a la tasa de $n$ de modo que el crecimiento en $Y/L$ es igual a crecimiento en $Y/L_Y$, tenemos:

$$g_y=g_{A^{\sigma}}=\frac{1}{A^{\sigma}}\frac{dA^{\sigma}}{dt}= \frac{1}{A^{\sigma}}\sigma A^{\sigma-1}\dot{A}=\sigma g_A=\frac{\sigma n}{1-\phi}$$

Answer 2

Sabemos que $g_A = \dot{Un}/A$ y por tanto $g_A = \delta L_A A^{\phi-1}$.

Tomar registros de ambos lados de $g_A = \delta L_A A^{\phi-1}$ y diferenciando con respecto al tiempo nos da

$$ \frac{\dot{g_A}}{g_A} = n + (\phi-1)g_A.$$

Multiplicar ambos lados de la ecuación por $g_A$:

$$ \dot{g_A} = n g_A + (\phi-1) g_A^2$$

Dado que $\phi<1$, y en el estado estacionario BGP el crecimiento de la tasa de crecimiento de la $\dot{g_A} = 0$, dividimos ambos lados por $g_A$ a obtener:

$$n+ (\phi -1) g_A = 0 $$

Se reorganizan para obtener la deseada expresión:

$$g_A^* = \frac{n}{1-\phi}$$

La segunda ecuación es simplemente el resultado anterior se multiplica por $\sigma$:

$$g_Y = g_A \sigma = \frac{\sigma n}{1-\phi}$$

Answer 3

Él es justo decir que existe algún exponente, que refleja la disminución o el aumento de los rendimientos a escala, theta. La investigación puede tener no lineal de retornos marginales.

Dado que, como theta aumenta la tasa de crecimiento debe aumentar linealmente desde la exponencial devuelve en el conocimiento de traducir a un aumento lineal en la tasa de crecimiento exponencial.

Así es la manera en que las funciones exponenciales de trabajo, usted podría escribir una larga prueba, pero que realmente sólo aritmética.