Calcular el Tiempo para el Crecimiento Equilibrado de la Ruta

Question

$\textbf{Modelo:}$ $$\underset{\{c_t,k_t\}}{max}\;\sum_{t=0}^\infty\beta^t\frac{c_t^{1-\gamma}}{1-\gamma}$$ $$s.t.\;c_t=Rk_{t-1}-k_t$$ $$c_t,k_t\geq0$$ En el tiempo $t$, $c_t$ es el consumo y $k_{t-1}$ es la capital utilizados en la producción. $0<\beta<1,\;\gamma>0,\;\gamma\neq1$

$\textbf{(a)}$ Calcular un crecimiento equilibrado de la ruta en la que el consumo y el capital crecen en constante tasas.

La solución de este uso de la ecuación de Euler, obtenemos $$\frac{c_{t+1}}{c_t}=\big(\beta R\big)^{\frac{1}{\gamma}}$$ Sabemos que el capital debe crecer al mismo ritmo que el consumo en una senda de crecimiento equilibrado, por lo que $$\frac{k_{t+1}}{k_t}=\big(\beta R\big)^{\frac{1}{\gamma}}$$ Esto significa que: $$c_t=\bigg(\frac{R}{(\beta R)^{\frac{1}{\gamma}}}-1\bigg)k_t$$ $\textbf{(b)}$ Lo que las restricciones son necesarias para el capital y el consumo crezca a una tasa positiva en el crecimiento equilibrado de la ruta?

Para esta pregunta, parece que todo lo que necesitamos es $R>1$

Ahora, mi pregunta es la siguiente: ¿cuánto tiempo tomará para el consumo y de capital para alcanzar el crecimiento equilibrado de la ruta? En general, ¿cómo se podía calcular el tiempo para el crecimiento equilibrado de la ruta? O es más económico basado en la intuición?

$\textbf{Edit:}$ de Acuerdo a otro estudiante, el profesor dijo que esto nunca va a llegar a una senda de crecimiento equilibrado. Sin embargo, el profesor nunca dijo por qué. Alguien puede darme un razonamiento de por qué esto nunca iba a llegar a una senda de crecimiento equilibrado?

Answer 1

a) Sus cálculos son correctos, pero en fin para que el consumo sea positivo, por lo que para $$ c_t=\bigg(\frac{R}{(\beta R)^{\frac{1}{\gamma}}}-1\bigg)k_t > 0, $$ usted necesitará condiciones adicionales. La primera es la obvia $k_t > 0$. Si no hay nada que ganar interés, no habrá crecimiento y no de consumo. El segundo es el más rico en matices $$ \frac{R}{(\beta R)^{\frac{1}{\gamma}}}-1 > 0. $$ Esto es en realidad una condición necesaria para la existencia de una solución óptima. La desigualdad puede ser reformulada como $$ \beta \cdot R^{1 - \gamma} < 1. $$ Si esto no se sostiene, entonces, dado cualquier consumo de ruta que el consumidor podría obtener por empujar todo el consumo de un periodo más. Ya que no hay infinitamente distante periodo, no óptima existe.

b) En alcanzar el consumo equilibrado de ruta:
Tal vez hay un truco con el indeces. $c_0$ parece mal definidos, a menos que hay un costo de $k_{-1}$. Si el consumo se inicia en $t = 1$, las condiciones anteriores se cumplen y que el consumidor es racional, a continuación, $$ \forall t: \ c_t=\bigg(\frac{R}{(\beta R)^{\frac{1}{\gamma}}}-1\bigg)k_t $$ define el óptimo consumo de camino al asumir el $k_0$ es dado y $$ \forall t: \ k_t = k_0 \cdot (\beta R)^{\frac{t}{\gamma}}. $$ Por lo tanto $$ \forall t: \ c_t=\bigg(\frac{R}{(\beta R)^{\frac{1}{\gamma}}}-1\bigg) \cdot k_0 \cdot (\beta R)^{\frac{t}{\gamma}}. $$ Es sencillo comprobar que este camino es factible (si las condiciones establecidas en a) se cumplen) y equilibrada.

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Una nota en alcanzar el consumo equilibrado de ruta de acceso: Este concepto generalmente existe cuando hay algún conflicto entre balancedness y de optimalidad o cuando el consumidor es boundedly racional. (E. g. El modelo de Solow.) Aquí esto no parece ser el caso. Sin embargo, cuando surgen estos conflictos generalmente hay una interminable (Es esta la correcta ortografía de esta palabra? Por favor corregir si es incorrecto.) la convergencia hacia el equilibrado del camino. La distancia disminuye en cada período, pero nunca llega a 0.