¿La beta de la cartera es realmente la media ponderada de las betas de los valores? Si es así, ¿hay alguna forma de distinguir las betas en función de su composición?

Question

Por ejemplo, supongamos que tiene tres carteras.

Cartera A se invierte el 100% en un índice de mercado con β=1.

Cartera B es una mezcla 50/50 de dos acciones (Acción A β=1,5 y Acción B β=0,5). La media ponderada de estas dos nos da una cartera β=1.

Cartera C es una mezcla 50/50 de una acción y efectivo (Acción C β=2,0 y efectivo β=0). La media ponderada de estas dos nos da una cartera β=1.

Suponiendo un valor inicial de $100, if all of these portfolios have β=1, why is it that if we experienced sequential returns of -10% followed by +11.11% Portfolio A would finish with a value of $ 100 mientras que las carteras B y C terminan con valores de $99.72 and $ ¿98,89 respectivamente?

¿Hay alguna forma de indicar las distintas composiciones de estas carteras con la misma cartera β=1? ¿O estoy calculando mal β para empezar?

Answer 1

La respuesta a su pregunta inicial es Sí. La beta de la cartera es la media ponderada de las betas individuales . Esto no es cierto para muchas estadísticas de la cartera (como la volatilidad), pero sí para la beta. Puedes comprobarlo por ti mismo escribiendo las dos ecuaciones de regresión y sumándolas.

La respuesta a tu segunda pregunta (en el título) es que hay muchas formas de distinguir dos carteras que tienen la misma beta. Pero la beta, por definición, no es una de esas formas. La beta es una estadística única. Si tienes dos carteras que tienen la misma beta, entonces por supuesto no puedes usar la beta para distinguirlas . Tendrás que usar otra cosa.

Ahora, por qué tu ejemplo no funciona matemáticamente: Beta es un concepto de un solo periodo (es un efecto marginal ) y la ecuación del CAPM es válida sólo para un período. Por eso su ejemplo funciona perfectamente en el primer período, pero se rompe en el segundo.

Esto no es particular de la beta. Es una característica de los rendimientos compuestos. No es posible que una acción gane siempre el doble que otra en más de un horizonte, que es lo que supone tu ejemplo. Un ejemplo más sencillo lo ilustra: Supongamos que Y gana el doble que X en cada periodo y que X gana R1 y luego R2. Entonces, a lo largo de dos períodos, una inversión en X obtiene una rentabilidad de

(1+R1)(1+R2) - 1 = R1 + R2 + R1*R2

y una inversión en Y obtiene un rendimiento de

(1+2*R1)(1+2*R2) -1 = 2R1 + 2R2 + 4*R1*R2

Obsérvese que la rentabilidad de una inversión Y durante dos períodos es no el doble de la rentabilidad de una inversión X. Esta no linealidad de la agregación de rendimientos es lo que hace que su ejemplo de 2 períodos no funcione.

Intuitivamente esto puede parecer extraño. Creo que lo mejor es pensar en la beta como una medida de la exposición apalancada al riesgo de mercado. Esto significa que las betas no son constantes, al igual que el apalancamiento no es constante. Si una acción apalancada pierde dinero, su apalancamiento aumenta mecánicamente. La acción A de la cartera B dejará de tener una beta de 1,5 después de la primera rentabilidad. Decimos que ex ante que esperamos una rentabilidad de 1,5 veces la del mercado en el segundo periodo sólo porque no sabemos lo que ocurrirá en el primer periodo. Por cierto, las ponderaciones dentro de las carteras que ha construido también cambiarán después del primer periodo.

El resultado final: La utilización de una ecuación del tipo CAPM para predecir los rendimientos en relación con el índice de referencia sólo funciona en la expectativa y durante un único período.