¿Cómo puedo demostrar que $u=e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}$ en el binomio opción de modelo de fijación de precios

Question

Dado que

$e^{i\Delta t}(u+d)-ud-e^{2r\Delta t} = \sigma^2\Delta t$

Me gustaría mostrar que

$u=e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}$

Yo sé que tengo que utilizar alguna de Taylor aproximación $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2}+...$ e ignorar los términos de $\Delta t$ mayor a 1, pero me parece que no puede obtener el valor de $u$. Alguien puede mostrarme esta derivación?

Answer 1

No todos los árboles binomiales tomar $u=e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}$. Pensando en el binomio árbol como una aproximación discreta (en una cuadrícula) para un proceso continuo, tiene sentido que una variedad de opciones para situar los puntos de cuadrícula de trabajo.

Para obtener una lista de un par de opciones diferentes de $u$, consulte el Tian Árbol y otras opciones de configuración. A partir de este Sitmo página se puede ver, por ejemplo, que Jarrow y Rudd tomar

$$ u = e^{(r-q-\frac12 \sigma^2)\Delta t + \sigma\sqrt{\Delta t}} $$

Answer 2

Veo tu porblem Casco lamentablemente no explicar el razonamiento detrás de este enfoque.

La sugerencia de los libros da es correcta. El uso de series de Taylor de $e^x$ puede ser escrito como $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2}+...$. El casco también incoporates una tasa de dividendos de $p$ pero podemos hacer caso omiso de aquí.

$p$ es dada por p $=\frac{e^{i\Delta }-d}{u-d}$. También tenemos $u=\frac{1}{d}$. Así que para completar nuestra instalación wie principalmente sólo tiene que encontrar un propper $u$ que satisface la ecuación $(*)$ $$e^{i\Delta t}(u+d)-ud-e^{2r\Delta t} = \sigma^2\Delta t $$ Uno puede asumir que $u$ será algo de la función de $\Delta t$ y por lo tanto escribir $u(\Delta t)$. Además no necesitamos $u(\Delta t)$ a resolver $(*)$ de enorme $\Delta t$. Si asumimos que la función tiene algunos taylor aproximación podemos trabajar con el trunca taylors algunos para que le aproximado de $u(\Delta t)$ lo suficientemente bien como para pequeñas $\Delta t$.

Así que nos pusimos en $u(\Delta t) = e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}}$

Ahora obviosly esta elección no satifsy ecuación $(*)$. Todavía se utiliza el resultado si es de segundo orden taylor aproximación se hace el trabajo (por lo tanto cumplen con la ecuación bastante bien para pequeños $\Delta t$) - recuerde que puede utilizar una expansión de taylor para aproximar la función de este es el simplificada de la declaración de Taylor Teorema de

El segundo fin de Taylor Suma de $e^t$ es dado por la $e^t \aprox 1+t+0.5 t^2$. La inserción de $\sigma \sqrt{\Delta t}$ para $t$ da $e^{\sigma \sqrt{\Delta t}}\approx 1+\sigma \sqrt{\Delta t}+0.5\sigma^2 \Delta t$. Y mus $u(\Delta t) \aprox 1+\sigma \sqrt{\Delta t}+0.5\sigma^2 \Delta t$ y $d(\Delta t) \aprox 1-\sigma \sqrt{\Delta t}+0.5\sigma^2 \Delta t$ para lo suficientemente pequeño como $\Delta t$.

Utilizando la misma técnica que nos aproximan a la $e^{i\Delta t},e^{2 r\Delta t}$ términos por sus taylor de primer orden sumas y obtener $e^{i\Delta t}=1+r \Delta t$ y $e^{2 r\Delta t}=1+2r \Delta t$.

Si usted substite los términos en la ecuación $(*)$ por las aproximaciones derivadas de aquí y matar/ignorar todos los términos que contengan $(\Delta t)^2$ obtendrá el resultado deseado.

Así

$$(1+r\Delta t)(1+\sigma \sqrt{\Delta t}+0.5\sigma^2 \Delta t+1-\sigma \sqrt{\Delta t}+0.5\sigma^2 \Delta t)-(1+\sigma \sqrt{\Delta t}+0.5\sigma^2 \Delta t)(1-\sigma \sqrt{\Delta t}+0.5\sigma^2 \Delta t)-(1+2r\Delta t) = \sigma^2\Delta t $$

Simplificar (lo acaba de llevar a cabo la multiplicación) whenver encuentra un término que agrupa $(\Delta t)^2$ (por ejemplo, $\sigma^4(\Delta t)^2$) ponerlo a cero.

Edición del fondo para la elección de $u$

Mediante el uso de la relación $d=1/u$ uno puede simplificar la ecuación $(*)$ a $$ u^2-\frac{1+e^{2r\Delta t}+\sigma^2\Delta t}{e^{i\Delta t}}u+1=0 $$

La configuración de $A=0.5\frac{1+e^{2r\Delta t}+\sigma^2\Delta t}{e^{i\Delta t}}=0.5(e^{-i\Delta t}+e^{i\Delta t}+\sigma^2\Delta t e^{i\Delta t})$, se llega a la ecuación cuadrática $u^2-2Au+1=0$

La solución de esta ecuación nos da $u=A+\sqrt{A^2-1}, d=a-\sqrt{A^2-1}$ Ahora bien, si se introduce la fórmula real para $Un$ en este ecuaciones y se sustituye a $e^{i \Delta t},e^{-i \Delta t}$ con $1+r \Delta t,1-r \Delta t$, simplifica y, a continuación, descuida todos los términos que contengan $(\Delta t)^2$ o mayor que uno llega a $$ u=1+\sigma \sqrt{\Delta t}+0.5\sigma^2 \Delta t $$ Este es el segundo fin de Taylor aproximación de $e^{ \sigma \sqrt{\Delta t}}$