¿Problema de cálculo estocástico con tres procesos? (Cálculo de Itô)

Question

¿Puede alguien ayudarme a resolver el siguiente problema de cálculo de Itô?

Dejemos que $Z(t):= [B(t)*X(t)]/S(t)$

Tenemos la siguiente dinámica de B(t), X(t) y S(t):

$dS(t)=\alpha S(t)dt+\sigma S(t)dW(t)$

$dB(t)=rB(t)dt$

$dX(t)=\alpha_X X(t)dt + \sigma_X X(t) dW(t)$

donde W es un movimiento browniano.

Quiero determinar $dZ(t)$ .

Según la respuesta debería ser,

$$ dZ(t) = Z(t)(\sigma_X - \sigma)\left(\frac{\sigma^2 - \alpha + r_f + \alpha_X -\sigma\sigma_X}{\sigma_X-\sigma} dt + dW(t)\right) $$

pero no sé ni siquiera cómo empezar a abordar este problema.

Agradecería una solución completa. Gracias. :)

Edit: Con la ayuda de siou0107 y de esta encantadora comunidad he solucionado el proceso. Solución a continuación

Escribo todo esto para que yo también aprenda.

La cuenta de dinero $B_f(t)=r_fB(t)dt$ se define como cuenta de dinero extranjero y quiero determinar la dinámica del tipo de cambio $X(t)$ bajo el EMM con la acción como numerario. La acción está en economía doméstica. En mi post y pregunta sólo quería resolver el $Z(t)$ proceso definido como $Z(t):=\frac{B_f(t)X(t)}{S(t)}$ . Las dinámicas de S y X se definen más arriba.

Con el lema de Itô y la ayuda de esta amable comunidad consigo,

$dZ(t)=-\frac{X(t)B_f(t)}{S^2(t)}dS(t)+\frac{X(t)}{S(t)}dB_f(t)+\frac{B_f(t)}{S(t)}dX(t)+[\frac{X(t)B(t)}{S^3(t)}\sigma^2 S^2(t)-\frac{B_f(t)}{S^2(t)}\sigma S(t)\sigma_X X(t)]dt$

$dZ(t)=-Z(t)(\frac{dS(t)}{S(t)}+r_fdt)+Z(t)(\alpha_X dt+\sigma_X dW(t))+[Z(t)(\sigma^2 + \sigma \sigma_X)dt]$

Reunir todos los términos nos da finalmente,

$dZ(t)=Z(t)(\sigma_X-\sigma)dW(t)+Z(t)(\sigma_X+\sigma^2-\alpha-r_f-\sigma \sigma_X)dt$

Que es básicamente la respuesta indicada en la imagen.

Answer 1

Si quieres probar el método de la fuerza bruta, aquí tienes las fórmulas correspondientes:

En el cálculo ordinario, tienes la regla del producto para la diferencial de dos variables:

$$d \left( x_1 x_2\right)=x_1 dx_2+x_2 dx_1$$

La versión general de esto para diferenciales de productos de n variables es:

$$d \prod_{i=1}^{n}{x_i}=\sum_{i=1}^{n}{ \prod_{j=1 j \ne i}^{n}{x_j}dx_i}$$

El equivalente estocástico de la regla del producto para 2 variables es:

$$d \left( X_1 X_2\right)=X_1 dX_2+X_2 dX_1+dX_1dX_2$$

Y la versión general de esto para un producto de n variables es:

$$d \prod_{i=1}^{n}{X_i}=\sum_{i=1}^{n}{ \prod_{j=1, j \ne i}^{n}{X_j}dX_i} +\sum_{i=1,k=1,k>i}^{n}{ \left( \prod_{j=1, j \ne i,k}^{n}{X_j} \right) dX_idX_k}$$

Para n=3 esto se expande como sigue:

$$d \left( X_1 X_2 X_3\right)=X_2 X_3 dX_1+X_1 X_3 dX_2+X_1 X_2 dX_3+ X_3 dX_1dX_2+X_2 dX_1 dX_3+ X_1 dX_2dX_3$$

Parece formidable, pero se simplificaría para su sistema de tres ecuaciones porque la segunda ecuación (dB) es determinista, por lo que no contribuirá a los términos cruzados.

Answer 2

Usted tiene $$dZ_t = df\left(S_t, B_t, X_t\right) = \frac{\partial f}{\partial s}dS_t + \frac{\partial f}{\partial b}dB_t + \frac{\partial f}{\partial x}dX_t + \frac{1}{2}\left[\frac{\partial^2 f}{\partial s^2} d\langle S\rangle_t + 2\frac{\partial^2 f}{\partial s\partial x} d\langle S, X\rangle_t \right]$$ desde $d\langle B\rangle_t$ , $d\langle B, S\rangle_t$ , $d\langle B, X\rangle_t$ y $ \partial_{xx}^2 f(s, b, x)$ son nulas.

$$dZ_t = -\frac{X_tB_t}{S_t^2}dS_t + \frac{X_t}{S_t}dB_t + \frac{B_t}{S_t}dX_t + \frac{1}{2}\left[2\frac{X_tB_t}{S_t^3} \sigma^2S_t^2 - 2\frac{B_t}{S_t^2} \sigma S_t\sigma_X X_t \right]dt$$

Factor por $\frac{X_tB_t}{S_t}$ y entonces es sencillo.