Vol implícito en las diferentes retribuciones

Question

Digamos que tengo un modelo de precios de acciones de caja negra con el que ejecuto Monte Carlo para estimar los precios de las llamadas europeas. Para un strike determinado $K$ y la expiración $T$ A continuación, extraigo la volatilidad implícita de Black-Scholes $\sigma(K, T)$ del precio de Montecarlo $C_{MC}$ y esto supone que el modelo es lognormal.

Ahora quiero fijar el precio de una opción digital utilizando este modelo de caja negra en el mismo $K$ y $T$ Para ello, utilizo el método de Monte Carlo y obtengo un precio $D_{MC}$

Digamos que también calculo el precio de este digital utilizando la forma cerrada del precio Black-Scholes y utilizo $\sigma(K,T)$ como mi vol. Obtengo un precio de $D_{BS}$ .

Ahora, según tengo entendido, $\sigma(K, T)$ es exactamente esa volatilidad que tuve que introducir en mi precio Black-Scholes para obtener $C_{MC}$ . Ahora estoy valorando otro tipo de opción (digital) para este $K$ y $T$ y utilizar $\sigma(K, T)$ en mi forma cerrada. Mi pregunta es, ¿cuál es la relación entre $D_{MC}$ y $D_{BS}$ ? ¿Se esperaría que fueran iguales? ¿Serían iguales sólo si el modelo de caja negra fuera en realidad sólo el modelo lognormal?

Answer 1

Sólo habrían sido iguales (hasta la precisión y el sesgo habituales del MC) si el modelo de caja negra hubiera asumido una dinámica GBM como en el marco clásico de Black-Scholes.

$D_{MC}$ y $D_{BS}$ sí será diferente en general porque las opciones digitales son sensibles al sesgo de la volatilidad implícita que es inexistente en un mundo Black-Scholes donde $\sigma (K,T)=\sigma $ (superficie plana de vol).

Para ver esto, recuerde el sin modelo aproximación de una llamada digital $D(K,T)$ como un diferencial de compra alcista (normalizado) con precios de ejercicio $K-\epsilon$ y $K+\epsilon$ en el límite como la cuña $\epsilon $ tiende a cero:

$$ D (K,T) = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac {C (K-\epsilon,T)-C (K+\epsilon,T)}{2\epsilon} $$ de ahí lo siguiente, \begin{align} D (K,T) &= -\frac {dC}{dK} \\ &= \underbrace {-\frac {\partial C}{\partial K}}_ {\text {BS digital price}} - \underbrace {\frac {\partial C}{\partial \sigma}}_{\text {BS Vega}} \underbrace {\frac {\partial \sigma}{\partial K}}_{\text {Vol skew}} \end{align}

En pocas palabras, tan pronto como su modelo de caja negra permita el volteo ( $\frac {\partial \sigma}{\partial K} \ne 0$ ), sus precios digitales diferirán del precio teórico de la BS, que no ( $\frac {\partial \sigma}{\partial K}=0$ ).