¿Por qué [dz(t)]^2 converge a dt en períodos de tiempo infinitesimales?

Question

Tengo algunos problemas para entender un capítulo de Libro de texto de George Pennacchi "Asset Pricing" . Aquí el autor muestra que el cuadrado de un Proceso de Wiener $[dz(t)]^2$ converge a $dt$ durante periodos de tiempo infinitesimales.

Por la definición del Itô-Integral para $\int_0^T[dz(t)]^2$ : \begin{equation} \lim_{n\rightarrow\infty}E_0[(\sum_{i=1}^n [\Delta z_i^2]-\int_0^T[dz(t)]^2)^2]=0 \end{equation}

Luego afirma que \begin{equation} E_0[(\sum_{i=1}^n [\Delta z_i^2] -T)^2]=2T\Delta t \end{equation} , que es la ecuación que no puedo derivar. El límite de esta expresión es $\Delta t \rightarrow 0$ es 0, lo cual es obvio. Pero lo que tampoco soy capaz de entender es por qué este resultado junto con la definición de la Integral de Itô muestra finalmente que \begin{equation} \int_0^T[dz(t)]^2=\int_0^T dt \end{equation}

¿Puede alguien ayudarme a entender este importante resultado?

Answer 1

Cuidado, ¡simplificación excesiva por delante! (Esto significa que lo siguiente no es técnicamente correcto, ¡de hecho es falso! Pero: Da una intuición de lo que está pasando).

Si se lanza una moneda y se calcula cara como $-1$ y colas como $1$ se obtiene una media de $0$ con una varianza de $1$ . Cuando se suman múltiples lanzamientos de monedas, es decir, se crea un proceso aleatorio $dz(t)$ la media se mantiene igual, es decir $0$ -> este proceso es un martingala .

Ahora cuadra este proceso: En promedio, obtendrás $\frac{(-1)^2+1^2}{2}=1$ , lo que significa que su media se hace una unidad más grande por paso de tiempo -> $[dz(t)]^2=dt$

Así que aquí se ve cómo una martingala podría convertirse en un proceso que crece con el tiempo en promedio cuando se eleva al cuadrado - o en términos más generales: cómo un proceso simétrico podría convertirse en asimétrico a través de una transformación no lineal.

La siguiente es una exposición muy bonita que muestra estas ideas de forma muy intuitiva:
El cálculo estocástico y la ecuación Black-Scholes, ganadora del Premio Nobel, por Frank Morgan

Apéndice
Para abordar la cuestión de por qué esta intuición discreta puede tener sentido incluso en el caso continuo hay que saber que el proceso estocástico mencionado da lugar a un árbol binomial. La base de este árbol es, como su nombre indica, el distribución binomial . Cuando se reduce simultáneamente el tamaño y se aumenta el número de pasos de tiempo, esta distribución binomial se convierte (bajo algunas condiciones técnicas) en la distribución normal . Este es el resultado de la Teorema de Moivre-Laplace . El proceso estocástico continuo correspondiente es un Proceso Wiener (también llamado a menudo movimiento browniano estándar), que cierra el círculo.

Answer 2

Intuitivamente, debido al teorema del límite central: el proceso de wiener es un límite de un paseo aleatorio, y después de n pasos un paseo aleatorio se aleja del origen en ~ $\sqrt{n}$

Edición: aquí está la respuesta completa. Primero la fórmula de la suma. El truco es la siguiente observación simple: si $X_1,.. X_n$ son independientes de media cero, entonces $E(\sum X_i)^2 = \sum{EX_i^2}$ . En el caso de la fórmula, los incrementos independientes de media cero son $d_i=\Delta z_i^2 - T/N,$ ya que z(t) es un movimiento browniano.

La suma en cuestión es $$E(\sum{\Delta z_i}^2-T)^2 = E(\sum{d_i})^2 = \sum{E(d_i^2)} = \sum(E\Delta z_i^4 - 2 T / N * E(\Delta z_i^2) + T^2/N^2) = 2 T^2 / N = 2 T * \Delta t$$

Segundo, para la relación con la última igualdad: el lado derecho es T. El lado izquierdo es en algún sentido (preciso) es el límite de $\sum{\Delta z_i^2}$ Una forma estándar de demostrar las convergencias en probabilidad, es estimar el segundo momento de la diferencia. Esta es la fórmula que acabamos de probar.

Answer 3

Intuitivamente estás midiendo la distancia entre dos variables aleatorias que en el caso límite resulta ser muy pequeña. Así que puedes utilizar una en lugar de otra.