La preferencia de las relaciones definidas por $x_1^n + x_2^n$ convergen a $\max\{x_1, x_2\}$

Question

En el conjunto de problemas 2 de Rubinsteins Microeconomía (por cierto hay un relativamente buen libro escrito en la macroeconomía?) existe la siguiente pregunta: Deje que $\succ_n$ ser la preferencia de las relaciones definidas en $\mathbb{R}^2_+$ por la utilidad de $x_1^n + x_2^n$. Vamos a la preferencia de las relaciones $\succ$ ser definido por la utilidad $\max\{x_1, x_2\}$. Demostrar que $\succ_n$ convergen a $\succ$.

La preferencia de las relaciones se dice que converge si $a \succ b$ tenemos que $a \succ_m b$ para suficientemente grande $m$. Yo la verdad soy capaz de demostrar que.

Ahora w.l.o.g. $x_1 = \max\{x_1, x_2\}$ y $y_1 = \max\{y_1, y_2\}$. Suponiendo que $x_1 = y_1$ tenemos que$x \sim$y. Pero el único caso en el que $x \sim_m de$y es cuando también $x_2 = y_2$. En otros casos, hay que tener bien $x \succ_m y$ o $y \succ_m x$ para todo $m$ (dependiendo de $x_2$ y $y_2$, el "menor". Estos son en realidad lexicográfica preferencias!)

Hay una razón por la que la convergencia de la preferencia de las relaciones se hace de esta manera para ignorar subtilities? En mi opinión deberíamos de tener que $\succeq = \lim_{n \to \infty} \succeq_n$ si $a \succeq b = \lim_{n \to \infty} a \succeq_n b$.

Answer 1

Estoy asumiendo que usted está familiarizado con el concepto de transformaciones monotónicas.

Deje que $f(z)=z^n$ ser una transformación monotónica. $f(z)$ es un fin de preservar la transformación de todos los positivos $n$. Vamos $v:\mathbb{R_+^2} \to\mathbb{R}$ ser una función de utilidad, donde $v(x_1,x_2)=(x_1^n + x_2^n)^{1/n}$. La función $f(v(x_1,x_2))=((x_1^n + x_2^n)^{1/n})^n=x_1^n + x_2^n$ representará la misma preferencias como $v(x_1,x_2)$. Por lo tanto, $(x_1^n + x_2^n)^{1/n}$ debe converger a $\max\{x_1,x_2\}$.

Para probar el mismo, considere la posibilidad de $v(x_1,x_2)=\Big(1+\cfrac{x_1^n }{x_2^n}\Big)^{1/n}x_2$. Suponga que $x_2 = \max\{x_1,x_2\}. $Ahora, como $n \to \infty$, dos casos que surgen.

1) Si $x_2>x_1$, entonces $\cfrac{x_1^n }{x_2^n} \to 0$ como $n \to \infty$. En ese caso, $v(x_1,x_2)=x_2=\max\{x_1,x_2\}$.

2) Si $x_2=x_1$, el límite puede ser calculada tomando registro en ambos lados de la siguiente manera- \begin{align*} \ln(v(x_1,x_2)) = \cfrac{\ln(1+\cfrac{x_1^n }{x_2^n})}{n} +\ln(x_2) \,\,\,\,-(1) \end{align*} Desde $x_1/x_2=1$,tenemos $(x_1/x_2)^n=1^n$. El uso de este en la ecuación $(1)$, obtenemos \begin{align*} \ln(v(x_1,x_2)) = \cfrac{\ln(1+1^n)}{n} +\ln(x_2) \end{align*} Como $n\to \infty$, el plazo $\cfrac{\ln(1+1^n)}{n}$ se convierte en $\infty/\infty$. Este límite puede ser resuelto mediante la L'Hospital de la regla. El valor del límite(usted puede comprobar por ti mismo), viene a ser $0$. Ahora tenemos $\ln(v(x_1,x_2)) = 0 +\ln(x_2)$o, $v(x_1,x_2)=x_2=\max\{x_1,x_2\}$.

Answer 2

Una fuente de confusión proviene de la distinción entre estricta y débil preferencias. Definir $\succ_n$ estricto preferencias y $\succsim_n$ débiles preferencias.

1) La secuencia de preferencia relaciones $\succ_n$ ¿ no convergen a la preferencia de relación $\e$, precisamente a causa de la indiferencia caso. Si tomamos el ejemplo y con $x_1=y_1$, $x_1=\max(x_1,x_2)$ y $y_1=\max(y_1,y_2)$. Suponga también que $x_2>y_2$. Entonces, para cualquier $n>0$, $x\succ_n y$ pero no tenemos que$x\succ s$.

2) sin Embargo, uno puede mostrar que la secuencia de $\succsim_n$ converge a $\succsim$, que es lo que se sugieren al final de su pregunta. Podemos comprobar que el contraejemplo anterior no se aplica aquí: $x\succsim_n y$ para $n>0$ y $x\succsim y$.

3) hay un error en Rubinstein del libro de texto? No. El conjunto de problemas (2018 actualización), en realidad, los marcos de la pregunta en términos de la debilidad de las preferencias de $\succsim$ (nota todavía hay una mezcla de anotaciones que es desconcertante).