Derivación Delta de la expectativa

Question

Estoy tratando de entender la siguiente transformación que lleva a Delta

$ \frac {dC}{dx} = e^{-r \tau } \mathbb {E}[ \frac { \partial }{ \partial x} \text {max}(xY-K,0)] = e^{-r \tau } \mathbb {E}[Y \textbf {1}(xY>K)] = e^{- \frac { \sigma ^2}{2} \tau } \mathbb {E}[e^{- \sigma\sqrt { \tau }Z} \textbf {1}(Z>-d_2)] = \Phi (d_1)$

Entiendo la primera parte, pero no entiendo la última transformación.

$Y = e^{(r- \frac { \sigma ^2}{2}) \tau + \sigma \sqrt { \tau }Z}$ Z es normal (0,1)

x - precio actual de las acciones

Tomado de: http://www.gold-saucer.org/math/diff-int/diff-int.pdf

Answer 1

Desde $Y=e^{(r- \frac { \sigma ^2}{2}) \tau + \sigma \sqrt { \tau }Z}$ Entonces \begin {alineado*} xY > K \Leftrightarrow Z > -d_2, \end {alineado*} donde \begin {alineado*} d_2 = \frac { \ln \frac {x}{K} + (r-) \frac { \sigma ^2}{2}) \tau }{ \sigma\sqrt { \tau }}. \end {alineado*} Por consiguiente, \begin {alineado*} e^{-r \tau } \mathbb {E} \big (Y \mathbb \big ) &= e^{- \frac { \sigma ^2}{2} \tau } \mathbb {E} \big [e^{- \sigma\sqrt { \tau }Z} \mathbb {1}{{\i} {\i1}Z > -d_2}} \big ] \\ &= e^{- \frac { \sigma ^2}{2} \tau } \mathbb {E} \big [e^{ \sigma\sqrt { \tau }Z} \mathbb {1}{\i1}{\b1}{\b1}Z < d_2}} \big ] \\ &= \int_ {- \infty }^{d_2} e^{- \frac { \sigma ^2}{2} \tau + \sigma\sqrt { \tau } x} \frac {1}{ \sqrt {2 \pi }}e^{- \frac {x^2}{2}}dx \\ &= \frac {1}{ \sqrt {2 \pi }} \int_ {- \infty }^{d_2} e^{- \frac { \sigma ^2}{2} \tau + \sigma\sqrt { \tau } x - \frac {x^2}{2}}dx \\ &= \frac {1}{ \sqrt {2 \pi }} \int_ {- \infty }^{d_2 + \sigma\sqrt { \tau }}e^{- \frac {x^2}{2}}dx \\ &= \Phi (d_1), \end {alineado*} donde $d_1 = d_2 + \sigma\sqrt { \tau }$ .