Sé que la función de producción homotética implica que la función de costes es separable multiplicativamente en precios de entrada y salida, y puede escribirse como C(w,y)=h(y)C(w,1) . ¿Puede alguien ayudarme a deducir la forma funcional de la función de beneficios en el caso de funciones de producción homotéticas?
He descubierto esto como la respuesta a esta pregunta; Como sabemos problema de maximización de beneficios es dado como: $$ \pi(p,w) = \mathop{max}_{\textbf{y}}\quad p.y - C(\overrightarrow{w},y) $$ Cuando $f(\overrightarrow{x})$ es homothetic,
$$ C(\overrightarrow{w},y)=h(y).C(\overrightarrow{w},{1}) $$
Sustituyendo en la función de beneficios da;
$$ \pi(p,w) = \mathop{max}_{\textbf{y}}\quad p.y - h(y). C(\overrightarrow{w},1) $$
Primer fin de condición nos da; $$ p=h'(y)C(\overrightarrow{w},1) $$
Que puede ser escrito como: $$ h'(y)=\frac{p}{C(\overrightarrow{w},1)} $$
o
$$ y=(h')^{-1}\frac{p}{C(\overrightarrow{w},1)} $$ $$ \Rightarrow y= \gamma(p).\beta(w) $$
Por lo tanto, $y(p,w)$ es separable. Desde $$ \pi(p,w)=\int{y(p,w)}dp $$
$$ \pi(p,w)=\int{\gamma(p).\beta(w)}dp $$
$$ \pi(p,w)=\beta(w)\int{\gamma(p)}dp $$
$$ \pi(p,w)=\beta(w)\alpha(p) $$
Por lo tanto $\pi(p,w)$ es también separable en el factor de los precios y de los precios de producción.
¡Genial! Aunque esta parte no está muy clara: $ y =(h')^{-1}\frac{p}{C(\overrightarrow{w},1)} \Rightarrow y= \gamma(p).\beta(w) $
Si la función de producción es homogénea de grado $t$ entonces $h(y) = y^{\frac{1}{t}}$ . Usando esto creo que se pueden derivar las funciones exactas $\alpha, \beta$ .
Para $h(y) = exp(y)$ tenemos $y^*$ separable aditivamente en $p,w$ como $y^*(p,w)=\ln(p)-\ln(C(w,1))$
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¿Qué quiere decir exactamente con "forma funcional"?
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Quería preguntar si podemos separar la función de beneficio (multiplicativa o aditivamente) como una función de precios y producción, de la misma manera que podemos hacerlo para la función de coste. Su respuesta implica que no. ¿Puede sugerirme alguna referencia sobre tecnologías homotéticas para una mejor comprensión?
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He visto tu otra pregunta pero desgraciadamente no puedo dar referencias, se me ocurrió usando las definiciones de homogeneidad y condiciones óptimas.
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Quiero saber el significado de h(t). gracias