Bueno, no has sacado las cuentas todo ¡correcto, de lo contrario podría haberlo visto usted mismo!
Por elasticidad de sustitución, usted debe consulte
$$ \sigma(x,y) = \frac{\mathrm{d}\log \left(\frac{x}{y}\right)}{\mathrm{d}\log \left(\frac{U_y}{U_x}\right)} $$
Entonces, la elasticidad de sustitución constante es una propiedad de una función $U$ tal que para alguna constante $\bar \sigma$ ,
$$ \sigma(x,y) = \bar\sigma \, \forall y, x$$
Es decir, la elasticidad no depende de $x,y$ . Lo que mostró como $U$ es una función que tiene exactamente esa característica. Si se calcula $\sigma(x,y)$ (¡hazlo!), verás que
$$ \sigma(x,y) = \bar\sigma = \frac{1}{1+\rho}$$
Es decir, la elasticidad de su $U$ es constante para cualquier asignación. Por lo tanto, nos referimos a esa clase de función (para diferentes $\rho$ ) a funciones de elasticidad de sustitución constante (con parámetros de participación $\alpha$ ). Las preferencias Cobb-Douglas serían un caso especial (limitante) de eso, con $\sigma(x,y) = 1$
Ejemplo
Digamos que producimos felicidad ( $U$ ) con manzanas ( $x$ ) y las naranjas ( $y$ ). Veamos la asignación $\{5,1\}$ . Sólo tenemos una naranja, pero nos gustaría realmente quiere más. Por lo tanto, estamos dispuestos a renunciar a 2 manzanas para conseguir una naranja, y nos sería indiferente:
$$ U(5,1) = U(3,2)$$
Es muy fácil para sustituir las manzanas por las naranjas, tenemos una alta elasticidad de sustitución.
Ahora mira la asignación $\{1,6\}$ . ¿Crees que estarías de nuevo dispuesto a perder $40\%$ de $x$ para conseguir un aumento de $50\%$ en $y$ ? ¿Es cierto que
$$ U(1,6) = U(0.6, 12)$$
En caso afirmativo, significa que la elasticidad de sustitución de $U$ (o mi aproximación a la misma) es la misma en las dos asignaciones $\{1,6\}$ y $\{5,1\}$ . Si eso fuera cierto para todo posibles asignaciones, $U$ era el CES.
Hay algunas razones por las que se puede pensar que algunas preferencias no son CES: Por ejemplo, si $x$ y $y$ son buenos complementos. Luego, cuando se tiene poco de $x$ En el caso de la primera, estás dispuesto a renunciar a mucho por la segunda, pero esa elasticidad puede disminuir cuanto más cerca estés de la igualdad entre los dos insumos.
