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El factor de elasticidad de una Cobb-Douglas de la función en la Romer de la macroeconomía libro

Buenas noches, estoy leyendo la Romer de la macroeconomía libro en la página 42, "Una complicación" título de la sección. El comienzo del tercer párrafo dice:

Esto no es una propiedad general de las funciones de producción, sin embargo. Con la Cobb–Douglas de producción, la elasticidad de sustitución entre los insumos es de 1. ...

Entiendo que los factores de la elasticidad de sustitución se define como $El_x(y)=\frac{d\,\ln(y)}{d\,\ln(x)}$ en este caso será de $El_K(L)=\frac{d\,\ln(L)}{d\,\ln(K)}=\frac{d L}{d K}\frac{K}{L}$. De Cobb-Douglas función más sencilla $Y=K^\alpha L^{1-\alpha}$ tenemos, por $ $ Y=const$, $K=(YL^{\alpha-1})^{1/\alpha}$ entonces $$\frac {d K}{d L}=\frac{ \alpha - 1}{\alpha}\left(\frac{Y}{L}\derecho)^{1/\alpha}$$ ahora reemplazando en la fórmula: $$El_L(K)=\frac{ \alpha - 1}{\alpha}\left(\frac{Y}{L}\derecho)^{1/\alpha}\times\frac{L}{K}$$ operativo tenemos $$El_L(K)=\frac{\alpha-1}{\alpha}$$ como $El_L(K)=\frac{1}{El_K (L)}$ entonces $El_K (L)=\frac{\alpha}{\alpha-1}$. El punto es que estos valores no son iguales a uno.

Estoy interpretando mal la afirmación? Gracias por tu ayuda.

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Bernard Puntos 10700

Esta no es la elasticidad de sustitución de la fórmula. El correcto es, entre los factores, $K,$L

$$\sigma = \frac{\mathrm{d}\log \left(\frac{K}{L}\right)}{\mathrm{d}\log \left(\frac{F_L}{F_K}\right)}$$

Esta expresión puede ser convenientemente trabajado de la siguiente manera:

$$\frac{\mathrm{d}\log \left(\frac{K}{L}\right)}{\mathrm{d}\log \left(\frac{F_L}{F_K}\right)} = \frac {(L/K)[d(K/L)]}{(F_K/F_L)[d(F_{L}/F_{K})]}$$

$$=\frac {LF_L}{KF_K} \cdot \frac{d(K/L)}{d(F_{L}/F_{K})}$$

En la Cobb-Douglas caso tenemos

$$ \frac {F_L}{F_L} = \frac {1}{a}\frac {K}{L} $$

así

$$d\left(\frac{F_{L}}{F_{K}}\right) = \frac {1}{a}d\left(\frac{K}{L}\right)$$

La sustitución de ambas expresiones tenemos

$$\sigma = \frac {L}{K}\frac {1}{a}\frac {K}{L} \cdot \frac{d(K/L)}{[(1-a)/a]d(K/L)}=1.$$

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