Por favor imaginar que Nicole es incierto de su futuro riqueza. Su riqueza en el mal estado de el mundo es cero. Su riqueza en buen estado es de $w>0$. Cada estado es un principio igualmente probables. Sin embargo nikole puede comprar tecnología (equipos de seguridad) que hacen que el buen estado más probable. Si compra $x>0$ unidades, la probabilidad de que el buen estado en que se convierte en $q(x)>1/2$, donde $p(x)$es estrictamente creciente y estrictamente cóncava en x, con $q(x)<1$ para todo x. Para la compra de x unidades, Nichole se compromete a pagar $t(x)<w$ si el buen estado en que se materializa. Ella no pagar nada por el mal estado de Nicole es el riesgo natural. Andrew se enfrenta el mismo problema, sin embargo, Andrew se aversión al riesgo. Normalizar andrés utilidad en el mal estado a $u(0)=0$. Suponga que $p(x) $ y $t(x)$ son tales que ambos Nichole y Andrew gustaría comprar una estrictamente positivo cantidad f de la tecnología.
Así que pensando en x como una elección de la variable de formular Nicole 's y Andrew 's problema de maximización. Cómo puedo probar que compra la mayor cantidad de la tecnología? Y ¿qué significa este resultado dice que me intuitivamente? Y en segundo lugar ¿cómo puedo demostrar cómo la cantidad óptima para el éter de los agentes depende de $w$?
En el segundo caso, es de suponer que la tecnología es proporcionada por riesgo de firma nacional, cuyos costos de suministro de x unidades de la tecnología es de $kx$ donde $k>0$. La empresa sabe que Ella 's y Andrew 's preferencias y se le permite hacer diferentes ofertas para ellos. Si nos imaginamos que la empresa decide ofrecer Nichole una cantidad fija de $x_N>0$, y a Andrés, una cantidad fija de $x_A>0$. Vamos a $t_N(x_N)$ y $t_A(x_A)$ denotar el precio óptimo a cargo Nichole y Andrew respectivamente (donde debo recordar que este es asignado sólo en el buen estado).
Dado un fijo de $x_N$ , necesito derivar $t_N(x_N)$y la expresión implícita de $t_A(x_A)$ fija de $x_A$. Si $x_N=x_A$, puedo decir que $t_N(x_N)$ es mayor que $t_A(x_A)$? O no? Quiero probarlo y lo que puedo decir acerca de este intuitivamente? Y quiero derivar $t_N'(x_N)$ y $t_A'(x_A)$. Por último ¿cómo puedo obtener una implícita la caracterización de la cantidad óptima para ofrecer a Nichole $x_N$. Y ¿cómo se puede comprobar si el valor óptimo de $x_A$ es mayor que el valor óptimo de $x_N$ o no?
Lo que sólo se realiza como una solución
Por Nichole
$$\max_{x} \ \ q(x) u(w-xt(x))+(1-q(x))u(0)$$
Los pabellones de conveniencia
$$p'(x) u(w-xt(x))+q(x) u'(w-xt(x))-(w-xt(x))'+(1-q'(x))'u(0)=0$$
$$p'(x) u(w-xt(x))+q(x)- t(x)-x)u'(w-xt(x))=u(0)q'(x)$$
$$p'(x) u(w-xt(x))-p'(x) u(0)=q( x )u'(w-xt(x))(t(x)+x)$$ $$p'(x)[ u(w-xt(x))- u(0)]=q( x )u'(w-xt(x))(t(x)+x)$$ $$p'(x)[(1/q(x))[u(q(x)(w-xt(x)))- u(0)]]=q( x )u'(w-xt(x))(t(x)+x)$$
$$(p'(x)/q(x))[u(q(x)(w-xt(x)))- u(0)]=q( x )u'(w-xt(x))(t(x)+x)$$
Riesgo natural
$$q(x)(w-xt(x)+(1-q(x))u(0)=u(q(x)(w-xt(x))$$
$$[u(w-xt(x))-u(0)]=(1/q(x))[u(q(x)(w-xt(x))-u(0)]$$
Aversión al riesgo
$$q(x)u(w-xt(x))\le u(q(x)(w-xt(x))$$
Cualquier ayuda es muy apreciada. Gracias.
La versión original de la pregunta
Edito: para añadir que mi solución para el resto de las partes
Tomar que Nichole es de riesgo neutral. Me acaban.
$${\partial u \over \partial x}[p'(x)(w-t(x))-q(x)t'(x)]=0$$ $$p'(x)(w-5(x))-q(x)t'(x )=0$$ y diferenciar esta w.r.t. w. $${\partial q'(x) \over \partial x}{\partial x \over \partial w}(w-t(x))+p'(x)[{\partial w \over \partial w}-{\parcial t \over \partial x}{\partial x \over \partial w}-\frac{\partial q(x)}{\partial x}{\partial x \over \partial w}t'(x)-q(x){\partial t'(x) \over \partial x}{\partial x \over \partial w}=0$$
Después de los cálculos
$${\partial x \over \partial w}=+{q'(x)\over-q"( x)(w-t(x)+2q'(x)t'(x)+q(x)t"(x)}>0$$
Otra parte de la solución:
$$\text{lucro}=t_N(x_N)k-Nx_N$$ Sujeto a $q(x)u(w-t_N(x_N))\ge 0$
Pero de nuevo por esta parte no pude configurar la ecuación.
Lo que pensé es
$$max_{(t_N(x_N), t_A(x_A))} \ \ q(x_A)[t_A(x_A)-kx_A]+q(x_N)[t_N(x_N)-kx_N]$$
Las condiciones de primer orden
W. r.t. $(t_N(x_N)$
$$p'(x_N)(t_N(x_N)-kx_N)+q(x_N)[t'_N(x_N)-k]=0$$
$$t_N(x_N)={q'(x_N)kx_N-q(x_N)[t'_N(x_N)-k]\sobre q'(x_N)}$$
Similares para Andrew
$$t_A(x_A)={q'(x_A)kx_A-q(x_A)[t'_A(x_A)-k]\sobre q'(x_A)}$$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Estamos dado que $u$ es creciente y cóncava, y $u(0) = 0$. Esto implica que $\dfrac{u(t)}{t}$ es la disminución en $t$, y también, $\dfrac{u(t)}{t} > u'(t)$ para todo $t$.
Nicole problema de maximización : \begin{eqnarray*} \max_{x} \ p(x)(w-t(x))\end{eqnarray*}
FOC : $p'(x)(w-t(x)) = q(x)t'(x)$
Supongamos que $x_N$ resuelve de Nicole problema. Por lo tanto, satisfacer
$p'(x_N)(w-t(x_N)) = q(x_N)t'(x_N)$ o, equivalentemente,
$\dfrac{p'(x_N)}{q(x_N)t'(x_N)} = \dfrac{1}{w} {- t(x_N)} \etiqueta{1}$
Andrew problema de maximización : \begin{eqnarray*} \max_{x} \ p(x)u(w-t(x))\end{eqnarray*}
FOC : $p'(x)u(w-t(x)) = q(x)t'(x)u'(w-t(x))$
o, equivalentemente,
$\dfrac{p'(x)u(w-t(x))}{q(x)t'(x)} = u'(w-t(x)) \etiqueta{2}$
Vamos a comparar los dos lados de la anterior FOC (2) en $x = x_N$,
LHS = $\dfrac{p'(x_N)u(w-t(x_N))}{q(x_N)t'(x_N)} = \dfrac{u(w-t(x_N))}{w} {- t(x_N)} > u'(w-t(x_N)) =$ RHS
Desde en $x = x_N$ en el lado izquierdo de (2) es mayor que el lado derecho de (2), tenemos que reducir el valor de $x$ para hacerlos iguales. Por lo tanto, hay $x_A < x_N$ que
$\dfrac{p'(x_A)u(w-t(x_A))}{q(x_A)t'(x_A)} = u'(w-t(x_A)) \etiqueta{3}$
Por lo tanto, Nicole compra de mayor cantidad de tecnología.
La observación de los pabellones de conveniencia, también podemos concluir que aumentan en $w$ conducir al aumento en la cantidad óptima elegido por ambos.
Ahora a tratar de resolver el resto de dos partes.
