Convertir una suma de covarianza en una integral

Question

Estoy leyendo el libro de Lorenzo Bergomi Modelización de la volatilidad estocástica y he llegado a este pasaje.

Sólo me gustaría entender la derivación entre la primera y la segunda igualdad. Supongo que sólo tengo que reexpresar "correctamente" la integral y luego utilizar el teorema de Fubini para obtener una integral con sólo un $dt$ / $du$ /cualquier término que se convierta en el $T - \tau$ término, pero no puedo averiguar cómo hacer el cambio correcto de las variables como $t - u$ es una función de $t$ y $u$ . ¿Alguna idea por ahí?

Answer 1

Tenga en cuenta que la función $f$ sólo depende de $|t-u|$ lo que significa que es realmente simétrico: $f(x)=f(-x)$ . Haciendo el cambio de variable $\tau:=t-u$ : $$\begin{align} \int_0^Tdu\int_0^Tf(t-u)dt &=\int_0^Tdu\int_{-u}^{T-u}f(\tau)d\tau \\ &=\int_0^Tdu\left(\int_0^{T-u}f(\tau)d\tau+\int_0^uf(\tau)d\tau\right) \\ &=\int_0^T{du \left(\int_0^T{f(\tau) \textbf{1}_{\tau \leq T - u} d\tau} + \int_0^T{f(\tau) \textbf{1}_{\tau \leq u}d\tau}\right)} \\ &=\int_0^T{f(\tau)d\tau \left(\int_0^T{ \textbf{1}_{u \leq T - \tau} du} + \int_0^T{\textbf{1}_{u \geq \tau}du}\right)} \\ &=\int_0^Tf(\tau)d\tau\left(\int_0^{T-\tau}du+\int_\tau^Tdu\right) \\ &=2\int_0^T(T-\tau)f(\tau)d\tau \end{align}$$ Para la segunda igualdad, observe que $0\leq u\leq T$ por lo que $-u\leq0$ y $0\leq T-u$ .