SDE para el valor de la opción

Question

Dado un SDE para un subyacente:

$$dS(t) = \mu(S,t)dt+\sigma(S,t)dW(t)$$

el SDE para el valor de la opción $V=V(S,t)$ es dado a través de Ito lema como:

$$dV = V_tdt+V_S\mu(S,t)dt+\frac{1}{2}V_{SS}\sigma^2(S,t)dt+V_S\sigma(S,t)dW(t)$$

Parece que esto resulta en un SDE que contiene $S(t)$.

¿Cómo hace uno para, a continuación, obtener un SDE para el valor de la opción, de modo que puede ser simulado directamente sin simular que los activos subyacentes, es decir, algo así como

$$dV(t) = m(V,t)dt+s(V,t)dW(t)?$$

Answer 1

Este ha sido indirectamente discutido en esta pregunta. Suponemos que $\{\mathcal{F}_t, \, t\ge 0\}$ es la filtración natural generado por el movimiento Browniano $\{W_t,\, t \ge 0\}$. Por otra parte, vamos $B_t= e^{\int_0^t r_sds}$ ser el mercado de dinero de la cuenta de valor en el tiempo $t\ge0$. Vamos a $V_T$ ser la opción de pago al vencimiento $T$. Entonces \begin{align*} V_t = B_tE_Q\left(\frac{V_T}{B_T}\mid \mathcal{F}_t \derecho), \end{align*} donde $E_Q$ es la expectativa de operador, de conformidad con el neutrales al riesgo probabilidad de medida $P$. Tenga en cuenta que, $\{V_t/B_t, t \ge 0\}$ es una martingala. Por lo tanto, por la martingala teorema de representación, no existe un adecuado proceso de $\{\kappa_t, 0\le t \le T\}$ tal que \begin{align*} \frac{V_t}{B_t} &= V_0 + \int_0^t \kappa_u dW_u. \end{align*} Entonces \begin{align*} dV_t &= d\left(B_t \frac{V_t}{B_t} \derecho)\\ &=r_tV_t dt + B_t \kappa_t dW_t\\ &=V_t\Big(r_t dt + s(V,t) dW_t\Big). \end{align*} donde $s(V,t)=\frac{B_t \kappa_t}{V_t}$.

Answer 2

Eso es imposible. El valor de su opción es una función del tiempo y el valor de los subyacentes: $$ V(t) \triangleq V(t,S_t) $$ ¿Cómo puede saber el valor de la opción en el tiempo $t$ sin conocer el valor de su subyacente? Equivalentemente, usted necesita saber cómo su subyacente ha evolucionado con el fin de saber cómo el valor de su opción ha evolucionado. Usted siempre tendrá una dependencia entre el valor de una opción y su evolución, por un lado, y el valor del subyacente en el otro lado.