Se supone que es esto para la derivación de un PDE para la fijación de precios de un determinado tipo de opción, en el libro 'no Lineal de Precios de opciones' (Guyon).
La opción de entrega $g(\tau, X_{\tau})$ en el momento $\tau$ si $\tau < T$, o se ofrece $g(T,X_T)$ en el tiempo $T$ si $\tau \geq T$. $\tau$ es la primera vez de saltar de un proceso de Poisson con intensidad $\beta(t)$ (que es independiente de la información a tiempo $t$). Así que el momento actual es de $t$ y la opción de maduración es de $T$ (a menos que el salto se produce antes).
El $r(s,X_s)$ valores a continuación se presenta la tasa utilizada para descontar los pagos, así que no estoy seguro de que es relevante para la pregunta que tengo.
Así que el precio de la opción en el tiempo $t$ es $$\mathbb{E}{\large[}1_{\tau \geq T} * e^{-\int_{t}^{T}r(s,X_s)ds}g(T,X_T) + 1_{\tau < T} * e^{-\int_{t}^{\tau}r(s,X_s)ds}g(\tau, X_{\tau}) | X_t = x {\large]}$$
Entiendo hasta que punto. Después de que esta ecuación es igual a la siguiente: $$\mathbb{E}{\large[}e^{-\int_{t}^{T}r(s,X_s) + \beta(s)ds}g(T,X_T) + \int_{t}^{T}\beta(s)g(s,X_s)e^{-\int_{t}^{s}r(u,X_u) + \beta(u)du}ds) | X_t = x {\large]}$$
No tengo idea de cómo el segundo término de la suma viene. El primer término en el que se puede ver procede de la siguiente (creo): $$\mathbb{E}{\large[}1_{\tau \geq T} * e^{-\int_{t}^{T}r(s,X_s)ds}g(T,X_T)| X_t = x {\large]} = \\ \mathbb{E}{\large[}1_{\tau \geq T} | X_t = x {\large]} * \mathbb{E}{\large[}e^{-\int_{t}^{T}r(s,X_s)ds}g(T,X_T)| X_t = x {\large]} = \\ \mathbb{E}{\large[}1_{\tau \geq T} {\large]} * \mathbb{E}{\large[}e^{-\int_{t}^{T}r(s,X_s)ds}g(T,X_T)| X_t = x {\large]} = \\ e^{-\int_{t}^{T}\beta(s)ds} * \mathbb{E}{\large[}e^{-\int_{t}^{T}r(s,X_s)ds}g(T,X_T)| X_t = x {\large]} = \\ \mathbb{E}{\large[}e^{-\int_{t}^{T}r(s,X_s) + \beta(s)ds}g(T,X_T) | X_t = x {\large]} $$
Así que básicamente me estoy preguntando cómo conseguir desde $$\mathbb{E}{\large[}1_{\tau < T} * e^{-\int_{t}^{\tau}r(s,X_s)ds}g(\tau, X_{\tau}) | X_t = x {\large]}$$ a $$\mathbb{E}{\large[}\int_{t}^{T}\beta(s)g(s,X_s)e^{-\int_{t}^{s}r(u,X_u) + \beta(u)du}ds | X_t = x {\large]}$$ suponiendo que yo calcula la otra parte correctamente.
Muchas gracias por la ayuda!