3 votos

Esperanza condicional con Indicador de Funciones para el Proceso de Poisson en el Primer Salto de Tiempo (Opción de fijación de Precios de la PDE)

Se supone que es esto para la derivación de un PDE para la fijación de precios de un determinado tipo de opción, en el libro 'no Lineal de Precios de opciones' (Guyon).

La opción de entrega $g(\tau, X_{\tau})$ en el momento $\tau$ si $\tau < T$, o se ofrece $g(T,X_T)$ en el tiempo $T$ si $\tau \geq T$. $\tau$ es la primera vez de saltar de un proceso de Poisson con intensidad $\beta(t)$ (que es independiente de la información a tiempo $t$). Así que el momento actual es de $t$ y la opción de maduración es de $T$ (a menos que el salto se produce antes).

El $r(s,X_s)$ valores a continuación se presenta la tasa utilizada para descontar los pagos, así que no estoy seguro de que es relevante para la pregunta que tengo.

Así que el precio de la opción en el tiempo $t$ es $$\mathbb{E}{\large[}1_{\tau \geq T} * e^{-\int_{t}^{T}r(s,X_s)ds}g(T,X_T) + 1_{\tau < T} * e^{-\int_{t}^{\tau}r(s,X_s)ds}g(\tau, X_{\tau}) | X_t = x {\large]}$$

Entiendo hasta que punto. Después de que esta ecuación es igual a la siguiente: $$\mathbb{E}{\large[}e^{-\int_{t}^{T}r(s,X_s) + \beta(s)ds}g(T,X_T) + \int_{t}^{T}\beta(s)g(s,X_s)e^{-\int_{t}^{s}r(u,X_u) + \beta(u)du}ds) | X_t = x {\large]}$$

No tengo idea de cómo el segundo término de la suma viene. El primer término en el que se puede ver procede de la siguiente (creo): $$\mathbb{E}{\large[}1_{\tau \geq T} * e^{-\int_{t}^{T}r(s,X_s)ds}g(T,X_T)| X_t = x {\large]} = \\ \mathbb{E}{\large[}1_{\tau \geq T} | X_t = x {\large]} * \mathbb{E}{\large[}e^{-\int_{t}^{T}r(s,X_s)ds}g(T,X_T)| X_t = x {\large]} = \\ \mathbb{E}{\large[}1_{\tau \geq T} {\large]} * \mathbb{E}{\large[}e^{-\int_{t}^{T}r(s,X_s)ds}g(T,X_T)| X_t = x {\large]} = \\ e^{-\int_{t}^{T}\beta(s)ds} * \mathbb{E}{\large[}e^{-\int_{t}^{T}r(s,X_s)ds}g(T,X_T)| X_t = x {\large]} = \\ \mathbb{E}{\large[}e^{-\int_{t}^{T}r(s,X_s) + \beta(s)ds}g(T,X_T) | X_t = x {\large]} $$

Así que básicamente me estoy preguntando cómo conseguir desde $$\mathbb{E}{\large[}1_{\tau < T} * e^{-\int_{t}^{\tau}r(s,X_s)ds}g(\tau, X_{\tau}) | X_t = x {\large]}$$ a $$\mathbb{E}{\large[}\int_{t}^{T}\beta(s)g(s,X_s)e^{-\int_{t}^{s}r(u,X_u) + \beta(u)du}ds | X_t = x {\large]}$$ suponiendo que yo calcula la otra parte correctamente.

Muchas gracias por la ayuda!

3voto

Dan Coates Puntos 977

La densidad de la variable aleatoria $\tau$ es como usted ha señalado;

$$\phi(s):=E[\delta(\tau-s)|\tau \geq t] = e^{-\int_t^s\beta(u)du}\beta(s)$$

donde nos llama $\delta$ la Dirac función de densidad de ($P(X=x):=E[\delta(X-x)]$ para cualquier variable aleatoria por ejemplo)

Usted sólo tiene que conectar este explícitamente en la expectativa de obtener el resultado (exactamente de la misma manera como lo hizo para demostrar que $E[1_{\tau>T}]=e^{-\int_t^T\beta(u)du}$ )

En general, usted puede escribir para cualquier función $h$

$$h(\tau,X_\tau) = \int ds \delta(\tau -s)h(s,X_s)$$

así que tomando la expectativa que uno tiene (teniendo en cuenta la independencia de la propiedad de $\tau$ a partir de la información anterior:

$$E[h(\tau,X_\tau)|X_t=x] = \int ds E[\delta(\tau -s)h(s,X_s)|X_t=x]$$ $$E[h(\tau,X_\tau)|X_t=x] = \int ds E[\delta(\tau -s)]E[h(s,X_s)|X_t=x] = \int ds \phi(s)E[h(s,X_s)|X_t=x]$$

3voto

otto.poellath Puntos 1594

En el libro, se supone que $\tau$ es el primer momento de saltar del proceso de Poisson $N_t$ con determinista de la intensidad de $\beta(t) >0$, independiente de la filtración $(\mathcal{F}_t)$. Entonces, para cualquier $ u > t \ge 0$, \begin{align*} \mathbb{P}(\tau > u \mid \tau > t) &= e^{-\int_t^u \beta(s) ds}. \end{align*} Es decir, la densidad de $\tau$, condicional en $\tau > t$, está dada por $\beta(u) e^{-\int_t^u \beta(s) ds}$, por $u > t$.

Deje que $\mathcal{F}_{\infty} = \cup_{t\ge 0} \mathcal{F}_t$. Entonces, para cualquier conjunto de Borel $A$, basado en la independencia de la condición de $\tau$ y $\mathcal{F}_{\infty}$, \begin{align*} &\ \mathbb{E}\left(\left(\mathbb{I}_{\tau \geq T} \, e^{-\int_{t}^{T}r(s,X_s)ds}g(T,X_T) + \mathbb{I}_{\tau < T}\, e^{-\int_{t}^{\tau}r(s,X_s)ds}g(\tau, X_{\tau})\derecho) \mathbb{I}_{X_t \en Una}\, \big|\, \tau > t \derecho)\\ =&\ \mathbb{E}\bigg(\bigg(e^{-\int_t^T \beta(s) ds} e^{-\int_{t}^{T}r(s,X_s)ds}g(T,X_T) \\ &\qquad\quad + \int_t^T e^{-\int_{t}^{u}r(s,X_s)ds}g(u, X_{u})\, \beta(u)\, e^{-\int_t^u \beta(s) ds} du\bigg) \mathbb{I}_{X_t \en Una}\bigg)\\ =&\ \mathbb{E}\left(\left(e^{-\int_t^T r(s,X_s) + \beta(s) ds} g(T,X_T) + \int_t^T e^{-\int_{t}^{u}\beta(s) + r(s,X_s)ds}g(u, X_{u})\, \beta(u)\, du\derecho) \mathbb{I}_{X_t \en Una}\derecho). \end{align*} Por lo tanto, \begin{align*} &\ \mathbb{E}\left( 1_{\tau \geq T} * e^{-\int_{t}^{T}r(s,X_s)ds}g(T,X_T) + 1_{\tau < T} e^{-\int_{t}^{\tau}r(s,X_s)ds}g(\tau, X_{\tau})\, \big|\, \tau > t, X_t = x \derecho)\\ =&\ \mathbb{E}\left(e^{-\int_t^T r(s,X_s) + \beta(s) ds} g(T,X_T) + \int_t^T \beta(u)\, e^{-\int_{t}^{u}\beta(s) + r(s,X_s)ds}g(u, X_{u})\, du \, \big|\, X_t = x \right). \end{align*}

Finanhelp.com

FinanHelp es una comunidad para personas con conocimientos de economía y finanzas, o quiere aprender. Puedes hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X