Prueba detrás de solución para theta en el Casco Blanco con el tiempo-dependiente de la volatilidad y de reversión a la media?

Question

Estoy estudiando el siguiente papel en el Casco Blanco de calibración del modelo: Hull-White paper

En este trabajo se estudio la forma general de la TAREA con el modelo dependiente del tiempo de reversión a la media y la volatilidad: $$dr(t) = (\theta(t) - a(t)r(t))dt + \sigma(t)dW(t)$$ Estoy tratando de probar su fórmula para la solución de $\theta(t)$ que corresponde a una prescrito tasa de descuento en cada vencimiento (en la p. 36 de la ponencia). No he visto esta función en virtud de tal generalidad.

La solución en el papel es la siguiente: $$\theta(t) = \frac{\partial}{\partial t} f(0,t) + a(t) f(0,t) + \frac{1}{2} \left(\frac{\partial^2}{\partial t^2} V(0,t) + a(t) \frac{\partial}{\partial t} V(0,t) \right)$$ Donde: $$f(0,t) = \text{ instantáneo de la velocidad de avance en el tiempo } t$$ $$V(t,T) = \int_t^T \sigma(u,T)^2 du$$ $$\sigma(u,T) = \sigma(u)B(u,T)$$ $A$B(t,T) = E(t) \int_t^T \frac{du}{E(u)}$$ $$E(t) = e^{\int_0^t(u) du}$$ Me imagino que uno puede seguir un método similar hecho en versiones más sencillas de la modelo y:

1. Calcular $r(t)$ a través de la integración

2. Calcular los precios de los bonos

3. Tomar derivado de registro de los bonos de precios para calcular el precio a futuro

4. De alguna manera aislar $\theta(t)$ después de la posibilidad de tomar otro derivado de la ecuación anterior?

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Actualización: Aquí es lo que tengo hasta el momento. Aplicar Itô del Lema a la función: $$F(r(t), t) = E(t) r(t)$$ Obtenemos: $$F_t = a(t) E(t) r(t) \hspace{10} F_r = E(t) \hspace{10} F_{rr} = 0$$ Lo que resulta en: $$\begin{align*} dF(t) &= F_t dt + F_r dr \\ &= E(t)\theta(t)dt + E(t)\sigma(t)dW(t) \end{align*}$$ La integración de $t$ a $s$ uno obtiene: $$\begin{align*} F(s) - F(t) &= \int_t^s, E(u)\theta(u)du + \int_t^s, E(u)\sigma(u)dW(u) \\ E(s)r(s) &= E(t)r(t) + \int_t^s, E(u)\theta(u)du + \int_t^s, E(u)\sigma(u)dW(u) \\ r(s) &= \frac{E(t)}{E(s)}r(t) + \frac{1}{E(s)}\int_t^s, E(u)\theta(u)du + \frac{1}{E(s)}\int_t^s, E(u)\sigma(u)dW(u) \end{align*}$$ Podemos ahora calcular los precios de los bonos mediante la integración de este corto, la tasa de $t$ $T$ y la aplicación de la definición de los bonos de precio. Primero debemos integrar y hacer uso del teorema de Fubini: $$\begin{align*} \int_t^T r(s) ds &= \int_t^T \frac{E(t)}{E(s)}r(t) ds + \int_t^T \int_t^s \frac{E(u)}{E(s)}\theta(u) du ds + \int_t^T \int_t^s \frac{E(u)}{E(s)}\sigma(u) dW(u) ds \\ &= \int_t^T \frac{E(t)}{E(s)}r(t) ds + \int_t^T \int_u^T \frac{E(u)}{E(s)}\theta(u) ds du + \int_t^T \int_u^T \frac{E(u)}{E(s)}\sigma(u) dW ds(u) \\ &= r(t)\underbrace{E(t) \int_t^T \frac{1}{E(s)} ds}_{B(t,T)} + \int_t^T \theta(u) \underbrace{E(u) \int_u^T \frac{1}{E(s)} ds}_{B(u,T)} du + \int_t^T \sigma(u) \underbrace{E(u) \int_u^T \frac{1}{E(s)} ds}_{B(u,T)} dW(u) \\ &= r(t) B(t,T) + \int_t^T \theta(u) B(u,T) du + \int_t^T \sigma(u) B(u,T) dW(u) \end{align*}$$ Ahora podemos calcular los precios de los bonos a través de: $$\begin{align*} P(t,T) &= \mathbb{E}_t \left[e^{-\int_t^T r(s) ds} \derecho] \\ &= e^{-r(t)B(t,T) - \int_t^T\theta(u)B(u,T)du} \mathbb{E}_t \left[ e^{-\int_t^T \sigma(u) B(u,T) dW(u)} \right] \\ &= e^{-r(t)B(t,T) - \int_t^T\theta(u)B(u,T)du} e^{\frac{1}{2} \int_t^T \sigma(u)^2 B(u,T)^2 du} \end{align*}$$ Aquí hemos utilizado que $r(t)$ es conocida en $t$ y la fórmula para que la expectativa de un lognormal variable. Ahora podemos tomar un registro y derivados para producir una fórmula para la instantánea velocidad de avance: $$\begin{align*} f(0,T) &= - \frac{\partial}{\partial T} \ln P(0,T) \\ &= \frac{\partial}{\partial T} \left[ r(0) B(0,T) + \int_0^T \theta(u) B(u,T) du - \frac{1}{2} \int_0^T \sigma(u)^2 B(u,T)^2 du \derecho] \end{align*}$$ Aquí vamos a usar un par de propiedades de $B(t,T)$ que siguen directamente a partir de su definición: $$\frac{\partial}{\partial T} B(t,T) = \frac{E(t)}{E(T)} \hspace{5pt} \text{ y } \hspace{5pt} B(T,T) = 0$$ $$\begin{align*} f(0,T) &= r(0) \frac{E(0)}{E(T)} + \int_0^T \theta(u) \frac{E(u)}{E(T)} du - \frac{1}{2} \int_0^T \sigma(u)^2 2B(u,T)\frac{E(u)}{E(T)} du \end{align*}$$ Tomando uno de los más derivados con respecto a $T$ resultará en dos instancias de $\theta(t)$ en la fórmula. No veo una forma de aislar esta función por sí mismo para recuperar la fórmula citada en el documento anterior.

Answer 1

Suponemos que el proceso $\{r(t), \ t \ge 0\}$ satisface el SDE de la forma \begin{align*} dr(t) = \big( \theta(t) - a(t) r(t) \big)dt + \sigma(t) dW_t, \quad t > 0, \end{align*} donde $\{W_t, \, t \ge 0 \}$ es un estándar Brwonian movimiento. Tenga en cuenta que \begin{align*} d\left(e^{\int_0^t(u) du}r(t) \derecho) &=a(t) e^{\int_0^t(u) du}r(t) dt + e^{\int_0^t(u) du} dr(t)\\ &= \theta(t) e^{\int_0^t(u) du} dt + \sigma(t)e^{\int_0^t(u) du}dW_t. \end{align*} Entonces, por $v \ge t$, \begin{align*} r(v) = r(t) e^{-\int_t^v(u) du} + \int_t^v \theta(s)e^{-\int_s^v(u)du} ds+\int_t^v \sigma(s)e^{-\int_s^v(u)du} dW_s. \end{align*} Por $0 \le t \le T$, vamos \begin{align*} P(t, T) = E\a la izquierda(e^{-\int_t^T r_s ds}\,|\, \mathcal{F}_t \derecho), \end{align*} donde $E$ es la expectativa de operador bajo el riesgo-neutral de la medida y de $\mathcal{F}_t$ es el conjunto de información hasta el momento de $t$, ser el valor de un bono cupón cero con vencimiento $T$ y unidad nocional. Por otra parte, vamos \begin{align*} B(t, T) &= \int_t^T e^{-\int_t^v(u) du} dv,\\ \sigma(t, T) &= \sigma(t) B(t, T),\\ V(t, T) &= \int_t^T \sigma^2(u, T) du. \end{align*} De lo anterior \begin{align*} P(t, T) &= E\a la izquierda(e^{-\int_t^T r_v dv}\,|\, \mathcal{F}_t \derecho) \\ &=E\a la izquierda(e^{-\int_t^T \left(r(t) e^{-\int_t^v(u) du} + \int_t^v \theta(s)e^{-\int_s^v(u)du} ds\derecho)dv - \int_t^T \left(\int_t^v \sigma(s)e^{-\int_s^v(u)du} dW_s\derecho) dv}\,|\, \mathcal{F}_t \derecho) \\ &=e^{-r(t) B(t, T)}E\a la izquierda(e^{-\int_t^T \left(\int_t^v \theta(s)e^{-\int_s^v(u)du} ds\derecho)dv - \int_t^T \left(\int_t^v \sigma(s)e^{-\int_s^v(u)du} dW_s\derecho) dv}\,|\, \mathcal{F}_t \derecho) \\ &=e^{-r(t) B(t, T)}E\a la izquierda(e^{-\int_t^T \left(\int_s^T \theta(s)e^{-\int_s^v(u)du} dv\derecho)ds - \int_t^T \left(\int_s^T \sigma(s)e^{-\int_s^v(u)du} dv\derecho) dW_s}\,|\, \mathcal{F}_t \derecho) \\ &=e^{-r(t) B(t, T)}E\a la izquierda(e^{ -\int_t^T \theta(s)B(s, T)ds - \int_t^T \sigma(s)B(s, T) dW_s}\,|\, \mathcal{F}_t \derecho) \\ &=e^{-r(t) B(t, T)-\int_t^T \theta(s)B(s, T)ds + \frac{1}{2}V(t, T)}. \end{align*} A continuación, \begin{align*} f(0, t)&=-\frac{\partial}{\partial t}\ln P(0, t)\\ &=r(0)\frac{\partial}{\partial t}B(0, t) + \theta(t)B(t, t) + \int_0^t\theta(s)\frac{\partial}{\partial t}B(s, t)ds - \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t}V(0, t)\\ &=r(0)e^{-\int_0^t(u) du} + \int_0^t\theta(s)e^{-\int_s^t(u) du}ds- \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t}V(0, t). \end{align*} y \begin{align*} \frac{\partial}{\partial t} f(0, t) &= -a(t)r(0)e^{-\int_0^t(u) du} + \theta(t) - a(t)\int_0^t \theta(s)e^{-\int_s^t(u) du}ds-\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}V(0, t)\\ &=-a(t)\left(f(0, t) + \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t}V(0, t) \derecho) + \theta(t) -\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}V(0, t). \end{align*} Es decir, \begin{align*} \theta(t) = \frac{\partial}{\partial t} f(0,t) + a(t) f(0,t) + \frac{1}{2} \left(\frac{\partial^2}{\partial t^2} V(0,t) + a(t) \frac{\partial}{\partial t} V(0,t) \derecho). \end{align*}