Conocí a esta pregunta, dice cómo el precio de vainilla opción call $C(St,t,T,K) = \frac{1}{S_T}$que paga el inverso de un stock de $V_{t} = \frac{1}{S_{t}}$ al vencimiento si el precio de las acciones sigue un movimiento Browniano geométrico $dS_{t}=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}dB_{s}$? Traté de usar la neutrales al riesgo medida de enfoque, sin embargo, no puedo demostrar que si la opción está descartada por una libre de riesgo de los bonos se convierte en una martingala es decir, $\frac{V_{t}}{B_{0}e^{rt}}$ no tiene una deriva plazo. Es este un cambio correcto de numeraire?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Vamos a $dB_t = rB_t dt$. Ahora
\begin{ecuación} d\Big(\frac{1}{B_t S_t}\Big) = -\frac{dS_t}{B_t S_t^2} -\frac{dB_t}{B_t^2S_t} +\frac{2}{2}\frac{(dS_t)^2}{B_t S_t^3} = (-\mu-r+\sigma^2)\frac{1}{B_tS_t}dt-\sigma\frac{1}{B_tS_t} dW_t \end{ecuación}
El uso de la EMM dada por $dW_t = \frac{r-\mu}{\sigma}dt +dW_t^\mathbb{Q}$ obtenemos el $\mathbb{Q}$-dinámica
\begin{ecuación} d\Big(\frac{1}{B_t S_t}\Big) = (\sigma^2-2r)\frac{1}{B_tS_t}dt-\sigma\frac{1}{B_tS_t} dW_t^\mathbb{Q} \end{ecuación}
Esta es sólo una martingala en el caso especial cuando $2r = \sigma^2$, por lo tanto, a menos que sostiene $V_t = \frac{1}{S_t}$ no puede ser el precio de un negociado de activos. Pero el precio de un contingente de reclamación de $V_T = \frac{1}{S_T}$ en cierta fecha de vencimiento $T$ aún $e^{-r(T-t)}E^\mathbb{Q}\Big[\frac{1}{S_T}\Big|\mathcal{F_t}\Big]$, que es, obviamente, una martingala.
