Tome el conjunto de todos los vectores $x = (x_1, \cdots, x_n)$ que son soluciones a $p_1x_1 + \cdots + p_nx_n = I > 0$. Demostrar que este conjunto tiene $n-1$ dimensiones.
De alguna manera he logrado hacerme con atascado en la última parte de esta prueba parece. No estoy utilizando el hecho de que este conjunto es un hyperplane y que hyperplanes son de $n-1$ dimensiones del espacio en el que están.
Es fácil demostrar que $\{x_1, \cdots x_n\}$ abarca el conjunto que estamos considerando, ya que $\sum p \cdot x$ es una combinación lineal y todo eso. Sin embargo, $x_n$ puede ser expresado como una combinación lineal de $\{x_1, \cdots x_{n-1}\}$:
$$x_n = \frac{I - (p_1x_1 + \cdots p_{n-1}x_{n-1})}{p_n}$$
Así que podemos eliminar $x_n$ desde el span y el conjunto resultante todavía se extiende. Ahora queremos mostrar $\{x_1, \cdots n_{n-1}\}$ son linealmente independientes. Es decir, si $p_1x_1 + \cdots p_{n-1}x_{n-1} = 0$ todos $p_i = 0$. Si el conjunto es de expansión y linealmente independiente, entonces es una base. Puesto que se tendría $n-1$ vectores, sería de dimensión $n-1$ y nos gustaría hacer.
Así que tenga en cuenta que $p_1x_1 + \cdots + p_{n-1}x_{n-1} = I - p_nx_n$ y que $I > 0$.
Así que asumo que no es un caso donde $I - p_nx_n = 0$ y que $I - p_nx_n \neq 0$. No estoy seguro de cómo acabar con esta prueba, lo que me hace triste, porque creo que me estoy perdiendo algo obvio. Cualquier ayuda sería apreciada.
