Subyacente Espacio Muestral en el Mercado Continuo Modelo

Question

E. g., un modelo para $N$ las poblaciones podrían tener cada una de GBM $dS_i = \mu_i S_i dt + \sigma_i S_i dW_i$, donde cada $W_i$ es independiente de los demás. Dejando $(\Omega \mathcal{F}, P)$ ser la probabilidad subyacentes espacio, ¿qué debería estar pensando para $\Omega$?

Tal vez es más fácil con sólo un proceso estocástico? Algunos candidato espacios que he escuchado son de $\Omega = \{$secuencias infinitas de lanzar una moneda$\}$ y $\Omega = \{$funciones continuas en $[0,T]$ a partir de $0\}$, pero realmente no puedo conseguir un buen manejo de estos. Hay una buena explicación para estos, o un mejor ejemplo de la posible subyacente espacio? Yo preferiría un riguroso (medida de la teoría de la) la explicación, si es posible.

Answer 1

Yo diría lo siguiente:

• el triple $(\Omega\mathcal{F},P)$ es un resumen de probabilidad espacio con todas las propiedades que supongo que usted sabe.
• entonces podemos definir variables aleatorias como las asignaciones de esta probabilidad espacio para los números reales $$ X: \omega \mapsto X(\omega) \in \mathbb{R}. $$ Pero queremos para el estudio de procesos $$ (X_t)_{t \ge 0}: \omega \mapsto (X_t(\omega))_{t \ge 0} \W, $$ donde la canónica del espacio, $W$, para estos continuo (sin saltos) procesos estocásticos se Wiener espacio - el espacio de funciones continuas en el real (de media) de la línea.

Si usted busca el internet para estas palabras clave (Wiener espacio, proceso estocástico) a continuación encontrará los detalles matemáticos. Usted puede comenzar por ejemplo, aquí.