Black Scholes: ¿Cómo ayuda a transformar la incertidumbre y seguir sin poder calcular un precio justo?

Question

Recapitulación de la historia de Black-Scholes:

1. Nadie sabe el precio justo de las opciones.
2. Revolución: ¡BS! Pones todos los parámetros y obtienes un precio -> ¡Un Premio Nobel por eso!
3. Espera: nadie conoce el verdadero valor de la volatilidad futura, por lo que no podemos calcular el precio justo después de todo y volvemos a la casilla de salida.
4. Pero bueno: Asumiendo que el señor mercado siempre tiene razón ahora lo tenemos al revés: poniendo precios reales de mercado de las opciones y calculando su volatilidad implícita vía BS.

Así que lo que estamos haciendo básicamente es intercambiar la incertidumbre sobre el precio justo de una opción por la incertidumbre sobre la volatilidad futura, o simplemente una transformación matemáticamente sofisticada de la incertidumbre en sí misma. Podríamos haber tenido el "Sr. Mercado siempre tiene razón" sin la compleja maquinaria matemática, ¿no?

Lo sé, uno de los logros de la BS es que el precio de la opción es independiente de cualquier deriva del subyacente pero aun así mi pregunta es:

¿Es correcta mi breve caracterización anterior y, en caso afirmativo, cómo ayuda realmente a transformar una forma de incertidumbre en otra y, aun así, no poder calcular un precio justo (la razón por la que se inició todo el esfuerzo en primer lugar)?

Answer 1

Su caracterización es correcta pero incompleta.

1) La parte más importante de Black-Scholes no es el modelo, sino el marco más general de la cobertura dinámica: se puede replicar la ganancia negociando continuamente el subyacente y la cantidad (delta) que se debe mantener es la derivada de la prima actual con respecto al spot actual. Este es un hecho mucho más general que el modelo real de BS $dS_t = rS_tdt + SdW_t$ .

2) Ahora bien, ¿de qué sirve transformar los precios en volatilidades mediante la fórmula BS?

Los precios son difíciles de comparar. Fije el subyacente y el vencimiento e intente comparar las primas de las opciones de compra y venta con distintos strikes. No es obvio ver cuál es "barato" porque no tienen la misma escala. Si los trazas, será difícil decir algo basándote en la curva.

En cambio, si se observa la volatilidad implícita del BS, sólo se tiene un parámetro con escala uniforme (la desviación estándar de los rendimientos logarítmicos dividida por root cuadrada del vencimiento). Esto hace que los datos sean mucho más manejables. Las opciones de compra y venta corresponden a un único valor de volatilidad y si se traza la sonrisa se obtiene una mejor representación de los datos del mercado. Se pueden enumerar hechos estilizados e interpretarlos, por ejemplo, en los mercados de renta variable, la volatilidad es mayor para los strikes bajos (sesgo negativo), una de las razones es que muchos inversores con aversión al riesgo compran puts fuera del dinero como seguro contra un crach, por lo que la distribución implícita para el spot tiene una cola izquierda más gorda que una lognormal, etc.

Answer 2

Puede que no sea la respuesta que buscas, pero sólo algunas ideas que me vienen inmediatamente a la mente...

Como has aludido, el modelo BS es mucho más que una herramienta para fijar el precio de las opciones. Pero no es necesario entrar en esto aquí.

Antes de la publicación del modelo BS, los precios de las opciones ya cotizaban más o menos al precio implícito de B.S. (parte de la justificación de B.S. era que sus precios predichos coincidían estrechamente con los del mercado en ese momento).

Las fuerzas de la oferta y la demanda del mercado siempre dictarán los precios de los activos, a pesar de lo que diga cualquier teoría; como tal, Black Scholes puede considerarse (y se utiliza en la práctica) una herramienta de guía para este proceso de descubrimiento de precios y un método útil de interpolación entre los precios de las opciones cotizadas en el mercado. Además, la negociación de opciones es un mercado en constante evolución; por ejemplo, antes de finales de la década de 1980 no se observaban "smiles/skews" de volatilidad, y éstos se produjeron debido a acontecimientos no relacionados con ningún avance teórico en la modelización de los precios de las opciones (para entonces el modelo de BS ya se utilizaba activamente).

Hay que tener en cuenta que sólo porque el modelo BS se utiliza para extraer las volatilidades de los precios de mercado, estas volatilidades implícitas no son realmente una medida de la volatilidad del activo en el modelo BS; son reflejos de la oferta, la demanda y las expectativas sobre los movimientos futuros de los precios. Esto se puede ver en la existencia de smiles/skews de volatilidad y en la divergencia de la volatilidad implícita de las opciones de venta y de compra (¡cuando deberían ser iguales!) Y cuando se utilizan otros modelos de volatilidad (modelos de volatilidad estocástica, volatilidad histórica, etc.), en realidad necesitamos un modelo de precios que pueda proporcionar explícitamente los precios.