Calculando el precio de un contrato de registro utilizando Monte Carlo

Question

Teniendo un payoff de contrato log-definido como $$\Pi_T = \ln \left(\frac{S_T}{S_0} \right)$$

¿Cómo expresarías el estimador de MC para el precio de este contrato?

La dinámica del precio de la acción aquí se da como $$\frac{dS_t}{St}=r dt + \sigma dW^{\mathbb {Q}}_t \tag{2}$$

Answer 1

Por definición, el pago de un contrato logarítmico de vencimiento $T$ se escribe como $$\phi(S_T) = \ln\left(\frac{S_T}{S_0}\right)$$ Sea $\Pi_t$ el valor de $t$ de tal reclamación contingente. Nos interesa el precio en $t=0$, mejor conocido como la prima de la opción. La teoría nos dice que esta prima se puede calcular como $$\Pi_0 = e^{-rT} E^{\mathbb{Q}} \left[ \phi(S_T) \right]$$ es decir, una expectativa (descontada y libre de riesgo) del pago futuro, siendo este pago una simple función de la variable aleatoria $S_T$.

Suponiendo que logramos extraer $M$ muestras i.i.d.(independientes e idénticamente distribuidas) de la variable aleatoria $S_T$ - que denominaremos por $(S_T^{(m)})_{m=1,...,M}$ en lo que sigue -, podríamos fácilmente inferir $M$ muestras i.i.d. del pago aleatorio $\phi(S_T)=\ln(S_T/S_0)$, luego tomar su promedio y multiplicar por el factor de descuento para obtener el precio de la opción. Esta es precisamente la idea detrás de Monte Carlo. ¿Cómo simular entonces muestras i.i.d. de $S_T$?

A partir de la EDP de Black-Scholes expresada bajo la medida libre de riesgo $\mathbb{Q}$, aplicando el lema de Itô se obtiene: $$S_T = S_0 \exp\left( (r-\frac{1}{2}\sigma^2)T + \sigma \sqrt{T} Z \right)$$ con $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$ y por lo tanto $S_T$ está distribuido lognormalmente.

Esto muestra que, para obtener muestras i.i.d. de $S_T^{(m)}$, solo se necesitan muestras i.i.d. de $Z^{(m)}$ de una distribución normal estándar (deberían existir bibliotecas para hacer eso en cualquier lenguaje de programación decente) $$S_T^{(m)} = S_0 \exp\left( (r-\frac{1}{2}\sigma^2)T + \sigma \sqrt{T} Z^{(m)} \right),\ \ \forall m=1,...,M$$

Los pagos de opción en muestras i.i.d. son entonces $$\phi\left(S_T^{(m)}\right) =\ln\left(\frac{S_T^{(m)}}{S_0} \right),\ \ \forall m=1,...,M$$

El estimador de Monte Carlo del precio de la opción viene dado por $$S_T^{(m)} = S_0 \exp\left( (r-\frac{1}{2}\sigma^2)T + \sigma \sqrt{T} Z^{(m)} \right),\ \ \forall m=1,...,M$$ $$\hat{\Pi}_0 = e^{-rT} \left( \frac{1}{M} \sum_{m=1}^M \phi\left(S_T^{(m)}\right) \right)$$ con $(Z^{(m)})_{m=1,...,M}$ representando $M$ muestras i.i.d. de una distribución normal estándar.

$\hat{\Pi}_0$ es un estimador no sesgado de la verdadera prima $\Pi_0$ cuya varianza disminuye proporcionalmente a $M^{-1/2}$ (lo cual es una consecuencia directa del TCL).

[Observación 1] Este resultado se aplica para cualquier instrumento cuyo pago sea una función del valor terminal del activo solamente, es decir, $\phi(.)$ de la forma $\phi(S_T)$. Esto se conoce como una opción europea. La situación de un contrato logarítmico con $\phi(S_T)=\ln(S_T/S_0)$ es solo un caso particular.

[Observación 2] Un contrato logarítmico puede ser valuado en forma semi-analítica (ver trabajo de Carr-Madan en esa área) $$\Pi_0 = e^{-rT}\left( rT - \int_0^{F(0,T)} \frac{\tilde{P}(K,T)}{K^2} dK + \int_{F(0,T)}^{\infty} \frac{\tilde{C}(K,T)}{K^2} dK \right)$$ donde $\tilde{P}(K,T)$ y $\tilde{C}(K,T)$ representan precios de opciones put/call europeas no descontadas. Esto le brinda una buena referencia para comparar sus simulaciones de MC (o evaluar su convergencia).