¿Por qué no puedo multiplicar dos soluciones SDE?

Question

La SDE 1 es S1 = S10 exp( (r1-sigma^2/2) * dt + sigma dW1 )

S2 = S20 exp( (r2-sigma2^2/2) * dt + sigma2 dW2 )

E[dW1 dW2] = rho

Quiero fijar el precio de una opción sobre S1 x S2 Sé que necesito usar las SDE para encontrar la SDE para d(S1 S2) usando Ito...pero qué pasa si uso esto

S = S1 x S2 utilizando dos soluciones analíticas de la SDE? ¿Por qué el término de deriva sale mal? ¿Por qué no puedo multiplicar dos soluciones de la SDE para obtener una ecuación para la tercera....?

Answer 1

Puedes utilizar la regla del producto de Ito $d(X \, Y) = dX \, Y + X \, dY + dX \, dY$ . En su caso, tiene $$ dS_{1,t} = S_{1,t} \left( r_1 dt + \sigma_1 dW_{1,t} \right) $$ y $$ dS_{2,t} = S_{2,t} \left( r_2 dt + \sigma_1 dW_{2,t} \right) $$

Answer 2

Por supuesto, si $dS_i = \mu(S^i_t)\mathrm dt + \sigma(S^i_t)\mathrm dW^i_t$ para $i=1,2$ y se conocen fórmulas explícitas para $S_i$ entonces su producto satisface la SDE que se deriva utilizando el lema de Ito para un producto. ¿Podrías explicar con más detalle cuál es el problema que tienes con el término de deriva?