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Correlación entre los precios de las acciones dada la correlación entre los rendimientos

Supongamos que tengo dos acciones con volatilidades conocidas y un coeficiente de correlación de rendimientos conocido: ¿alguien sabe cómo determinar la correlación entre los precios y NO LAS DEVOLUCIONES

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Entonces, ¿pregunta cómo determinar el co-movimiento de los términos de deriva de dos series en lugar de los residuos? la cointegración es una técnica relacionada que podría ser útil

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Thanassis Puntos 66

Podemos obtener una expresión de forma cerrada para la correlación de precios dada la correlación (logarítmica) de los rendimientos cuando las dos acciones siguen un movimiento browniano geométrico:

$$S_1(t) = S_1(0)e^{(\mu_1- \frac{1}{2} \sigma_1^2)t}e^{\sigma_1Z_1(t)},\\ S_2(t) = S_2(0)e^{(\mu_2- \frac{1}{2} \sigma_2^2)t}e^{\sigma_2Z_2(t)},$$

donde $\text{corr}(Z_1(t),Z_2(t)) = E[Z_1(t)Z_2(t)]=\rho t$ . La correlación de los rendimientos logarítmicos en un intervalo de longitud $\delta t$ es

$$\text{corr}\left(\log \frac{S_1(t+\delta t)}{S_1(t)} , \log \frac{S_2(t + \delta t)}{S_2(t)} \right) = \rho \delta t$$

La correlación de precios es

$$\tag{*}\rho_{S_1S_2}=\frac{E[(S_1(t) - E(S_1(t))(S_2(t) - E(S_2(t))]}{\sqrt{\text{var}(S_1(t))}\sqrt{\text{var}(S_2(t))}}$$

Recordando que $E(e^{\sigma_1 Z_1(t)}) = e^{\frac{1}{2} \sigma_1^2 t}$ obtenemos $$E(S_1(t)) = S_1(0)e^{\mu_1t}, \quad E(S_2(t)) = S_2(0)e^{\mu_2t} \\\text{var}(S_1(t)) = S_1(0)^2e^{2 \mu_1 t}( e^{\sigma_1^2t}-1), \quad \text{var}(S_2(t)) = S_2(0)^2e^{2 \mu_2 t}( e^{\sigma_2^2t}-1) $$

Tenga en cuenta que

$$E[(S_1(t) - E(S_1(t))(S_2(t) - E(S_2(t))] = E[S_1(t)S_2(t)] - E(S_1(t)) E(S_2(t)) \\ = S_1(0)S_2(0)e^{\mu_1t}e^{\mu_2t}\left(e^{-\frac{1}{2}\sigma_1^2t}e^{-\frac{1}{2}\sigma_2^2t}E[e^{\sigma_1Z_1(t) + \sigma_2Z_2(t)}] - 1\right)$$

Sustituyendo en (*) obtenemos

$$\tag{**}\rho_{S_1S_2} = \frac{e^{-\frac{1}{2}\sigma_1^2t}e^{-\frac{1}{2}\sigma_2^2t}E[e^{\sigma_1Z_1(t) + \sigma_2Z_2(t)}] - 1}{\sqrt{ e^{\sigma_1^2t}-1}\sqrt{ e^{\sigma_2^2t}-1}}$$

Desde $Z_1(t)$ y $Z_2(t)$ se distribuyen normalmente con la media $0$ y la varianza $t$ se deduce que $\sigma_1Z_1(t) + \sigma_2 Z_2(t)$ se distribuye normalmente con la media $0$ y la varianza

$$\text{var}(\sigma_1Z_1(t)+\sigma_2Z_2(t)) = E[(\sigma_1Z_1(t)+\sigma_2Z_2(t))^2 \\ = (\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + 2\rho \sigma_1\sigma_2)t$$

Entonces tenemos

$$E[e^{\sigma_1Z_1(t) + \sigma_2Z_2(t)}] = e^{\frac{1}{2}\sigma_1^2t}e^{\frac{1}{2}\sigma_2^2t}e^{\rho\sigma_1\sigma_2t},$$

y tras sustituir en (**)

$$\rho_{S_1S_2} = \frac{e^{\rho\sigma_1\sigma_2t} - 1}{\sqrt{ e^{\sigma_1^2t}-1}\sqrt{ e^{\sigma_2^2t}-1}}$$

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gracias, ¡muy apreciado!

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Creo que se podrían añadir algunas suposiciones sobre los dividendos para generalizar la correlación entre los rendimientos de los precios y los rendimientos totales.

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