Supongamos que tengo dos acciones con volatilidades conocidas y un coeficiente de correlación de rendimientos conocido: ¿alguien sabe cómo determinar la correlación entre los precios y NO LAS DEVOLUCIONES
gracias, ¡muy apreciado!
Supongamos que tengo dos acciones con volatilidades conocidas y un coeficiente de correlación de rendimientos conocido: ¿alguien sabe cómo determinar la correlación entre los precios y NO LAS DEVOLUCIONES
Podemos obtener una expresión de forma cerrada para la correlación de precios dada la correlación (logarítmica) de los rendimientos cuando las dos acciones siguen un movimiento browniano geométrico:
$$S_1(t) = S_1(0)e^{(\mu_1- \frac{1}{2} \sigma_1^2)t}e^{\sigma_1Z_1(t)},\\ S_2(t) = S_2(0)e^{(\mu_2- \frac{1}{2} \sigma_2^2)t}e^{\sigma_2Z_2(t)},$$
donde $\text{corr}(Z_1(t),Z_2(t)) = E[Z_1(t)Z_2(t)]=\rho t$ . La correlación de los rendimientos logarítmicos en un intervalo de longitud $\delta t$ es
$$\text{corr}\left(\log \frac{S_1(t+\delta t)}{S_1(t)} , \log \frac{S_2(t + \delta t)}{S_2(t)} \right) = \rho \delta t$$
La correlación de precios es
$$\tag{*}\rho_{S_1S_2}=\frac{E[(S_1(t) - E(S_1(t))(S_2(t) - E(S_2(t))]}{\sqrt{\text{var}(S_1(t))}\sqrt{\text{var}(S_2(t))}}$$
Recordando que $E(e^{\sigma_1 Z_1(t)}) = e^{\frac{1}{2} \sigma_1^2 t}$ obtenemos $$E(S_1(t)) = S_1(0)e^{\mu_1t}, \quad E(S_2(t)) = S_2(0)e^{\mu_2t} \\\text{var}(S_1(t)) = S_1(0)^2e^{2 \mu_1 t}( e^{\sigma_1^2t}-1), \quad \text{var}(S_2(t)) = S_2(0)^2e^{2 \mu_2 t}( e^{\sigma_2^2t}-1) $$
Tenga en cuenta que
$$E[(S_1(t) - E(S_1(t))(S_2(t) - E(S_2(t))] = E[S_1(t)S_2(t)] - E(S_1(t)) E(S_2(t)) \\ = S_1(0)S_2(0)e^{\mu_1t}e^{\mu_2t}\left(e^{-\frac{1}{2}\sigma_1^2t}e^{-\frac{1}{2}\sigma_2^2t}E[e^{\sigma_1Z_1(t) + \sigma_2Z_2(t)}] - 1\right)$$
Sustituyendo en (*) obtenemos
$$\tag{**}\rho_{S_1S_2} = \frac{e^{-\frac{1}{2}\sigma_1^2t}e^{-\frac{1}{2}\sigma_2^2t}E[e^{\sigma_1Z_1(t) + \sigma_2Z_2(t)}] - 1}{\sqrt{ e^{\sigma_1^2t}-1}\sqrt{ e^{\sigma_2^2t}-1}}$$
Desde $Z_1(t)$ y $Z_2(t)$ se distribuyen normalmente con la media $0$ y la varianza $t$ se deduce que $\sigma_1Z_1(t) + \sigma_2 Z_2(t)$ se distribuye normalmente con la media $0$ y la varianza
$$\text{var}(\sigma_1Z_1(t)+\sigma_2Z_2(t)) = E[(\sigma_1Z_1(t)+\sigma_2Z_2(t))^2 \\ = (\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + 2\rho \sigma_1\sigma_2)t$$
Entonces tenemos
$$E[e^{\sigma_1Z_1(t) + \sigma_2Z_2(t)}] = e^{\frac{1}{2}\sigma_1^2t}e^{\frac{1}{2}\sigma_2^2t}e^{\rho\sigma_1\sigma_2t},$$
y tras sustituir en (**)
$$\rho_{S_1S_2} = \frac{e^{\rho\sigma_1\sigma_2t} - 1}{\sqrt{ e^{\sigma_1^2t}-1}\sqrt{ e^{\sigma_2^2t}-1}}$$
FinanHelp es una comunidad para personas con conocimientos de economía y finanzas, o quiere aprender. Puedes hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
0 votos
Entonces, ¿pregunta cómo determinar el co-movimiento de los términos de deriva de dos series en lugar de los residuos? la cointegración es una técnica relacionada que podría ser útil