Límites de integración al aplicar el teorema de Fubini estocástico al movimiento Browniano

Question

Estoy mirando la solución a continuación de Quantuple, es una solución agradable y concisa pero estoy confundido acerca de cómo se obtienen los límites de las integrales en la segunda línea. ¿Podría alguien por favor elaborar en esa parte?

Integral de Movimiento Browniano con respecto al Tiempo

Gracias

Answer 1

La igualdad que estás preguntando es

$$ \int_0^t \int_0^s \mathrm{d}W_u \mathrm{d}s = \int_0^t \int_u^t \mathrm{d}s \mathrm{d}W_u. $$

Cuando aplicas Fubini, necesitas asegurarte de que el dominio sobre el que estás integrando no cambie. En el lado izquierdo, tanto $s$ toma valores en $[0, t]$ y para cualquier $s$ dado, $u \in [0, s]$. Mira el gráfico a continuación.

Ahora, cuando inviertes el orden de integración, dejas que $u$ vaya desde $[0, t]$. Para integrar sobre la misma área, para cualquier $u$ dado, debes dejar que $s \in [u, t]$. Mira el segundo gráfico, que es básicamente el primero reflejado a lo largo de la diagonal.