¿Son los juegos de dominio estricto solucionables los de dominio débilmente solucionables?

Question

De acuerdo, considera un juego $G$ si una estrategia $s_i$ tiene la siguiente propiedad que llamamos $s_i$ la estrategia estrictamente dominante

$$u_i(s_i,s_{-i})>u_i(s_i',s_{-i}) \\ \forall s_{-i} \ \forall s_i' \epsilon S'_i$$

Donde $s_{i}$ indica las estrategias de los jugadores que no son $i$ en el juego y $S'_i$ es el conjunto de estrategias del jugador $i$ excepto la estrategia específica $s_i$

Ahora veamos la definición de una estrategia débilmente dominante

si una estrategia $s_i$ tiene la siguiente propiedad que llamamos $s_i$ la estrategia débilmente dominante

$$u_i(s_i,s_{-i})≥u_i(s_i',s_{-i}) \\ \forall s_{-i} \ \forall s_i' \epsilon S'_i \ and \\ \exists s_i'  \epsilon S'_i \ such \ that: \ u_i(s_i,s_{-i})>u_i(s_i',s_{-i})$$

Bien, creo que de estas dos definiciones podemos deducir que cualquier estrategia estrictamente dominante $s_i$ es también una estrategia débilmente dominante

La definición de dominio estricto solucionable es la siguiente:

Un juego de dominio estricto solucionable es un juego donde el resultado del equilibrio es el equilibrio de dominio estricto. Un juego de dominancia débilmente solucionable es un juego donde el resultado del equilibrio es un equilibrio de dominancia débil.

Así que parece que entonces un juego de dominio estrictamente solucionable es siempre un juego de dominio débilmente solucionable. ¿Me equivoco?

Answer 1

Tienes razón. Deja que $s^*=(s_1^*,\dots,s_N^*)$ sea el equilibrio de un juego resoluble por dominancia estricta. Entonces, por definición, $$ u_i(s_i^*,s_{-i})>u_i(s_i,s_{-i}) $$ para todos $i$ todos $s_i\ne s_i^*$ y todos $s_{-i}$ . Esto implica que $$ u_i(s_i^*,s_{-i})\ge u_i(s_i,s_{-i}) $$ para todos $i$ todos $s_i\ne s_i^*$ todos $s_{-i}$ y con desigualdad estricta para al menos algunos $s_i$ (de hecho, para todos $s_i\ne s_i^*$ ). Esto hace que $s^*$ un equilibrio que satisfaga el criterio de solvencia de dominancia débil.

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Su definición citada de solvencia dominante estricta/débil me incomoda un poco. Yo diría que

Un juego es resoluble por dominancia estricta (o débil) si el proceso de eliminar iterativamente las estrategias dominadas estricta (o débilmente) conduce a un resultado único (es decir, sólo sobrevive una estrategia para cada jugador).