Mostrar que Z(t)/Z(0) es un resultado positivo significa-1 martingala

Question

Nos fijamos en un estándar de dividendos modelo Black-Scholes y aquí tenemos a un proceso de Z, el cual es definido por: Z(t)=(S(t)/H)^p , donde H es una constante positiva y p=1-2r/sigma^2

Estoy ahora se le pide que muestre que Z(t)/Z(0) es un resultado positivo significa-1 martingala.

Mi primera intuición me dice que el uso de Ito fórmula para obtener dZ(t) y que no deberían incluir un dt plazo, pero de alguna manera yo sigo viendo el dt plazo cuando yo uso Ito. Me estoy haciendo cada vez más frustrado. Alguien me puede ayudar con esto? A partir de ahí me gustaría tener la expectativa y se que E(Z(t))=1.

• Mads

Answer 1

$$ Z_t = f(S_t) := \left( \frac{S_t}{H} \derecho)^p $$ $$ dZ_t = \partial_x f(S_t) dS_t + \frac{1}{2} \partial^2_{xx} f(S_t) d\langle S \rangle_t = p\frac{S_t^{p-1}}{H^p} dS_t + \frac{1}{2} p(p-1) \frac{S_t^{p-2}}{H^p} S_t^2 \sigma^2 dt $$ Así $$ dZ_t = Z_t \left( p r + \frac{1}{2} p(p-1) \sigma^2 \derecho)dt + p Z_t \sigma dW_t $$ así que $$ \frac{dZ_t}{Z_t} = \mu dt + p\sigma dW_t $$

Ahora

$$ \mu = p r + (p\sigma^2 )\left( \frac{1}{2} (p-1)\derecho) = r - 2 \frac{r^2}{\sigma^2} - (\sigma^2-2r) \frac{r}{\sigma^2} = 0$$ lo que demuestra que $Z$ es una martingala