¿Son los cambios en el precio de los activos un proceso de Markov?

Question

Estoy estudiando el libro "The Mathematics of Financial Derivatives - A Student Introduction" y al principio del segundo capítulo dice que gracias a la hipótesis del mercado eficiente (1-la historia pasada se refleja completamente en el precio presente, 2-los mercados responden inmediatamente a cualquier información nueva sobre un activo) los cambios en el precio del activo son un proceso de Markov (texto completo abajo). A continuación, el libro introduce las SDE que modelan la rentabilidad del activo: $\frac{dS}{S}=\mu dt + \sigma dW$ .

Se dice que un proceso estocástico es un proceso de Markov si satisface la propiedad de Markov: el siguiente estado del proceso depende únicamente del actual, no de la secuencia de eventos que lo precedieron.

Así que estoy un poco confundido, ¿cómo pueden los cambios en el precio ser un proceso de Markov si el precio actual refleja completamente la historia pasada?

¿O tal vez lo he interpretado mal, y la propiedad de Markov sólo dice que toda la información pasada sobre el proceso del precio de las acciones se incorpora al precio actual y, por tanto, sólo el precio actual es relevante?

Answer 1

Definamos un proceso de stock $(S_t)_{t \geq 0}$ . Asumimos el valor del proceso $S_t$ en $t$ recoge toda la información pasada que puede afectar al precio de las acciones (su " historia pasada "). Consideremos dos momentos $t_1 < t_2$ .

Si hacemos la suposición (realista) de que la información acumula y aumenta a lo largo del tiempo, entonces, dado el precio de las acciones $S_t$ recoge toda la información relevante hasta $t$ el precio de las acciones $S_{t_2}$ encapsula toda la información relevante hasta $t_2$ . Por lo tanto, contiene al menos la misma cantidad de información relevante que $S_{t_1}$ . Como esto es cierto para todos los $t<t_2$ toda la información que afecta al proceso de las acciones en $t_2$ está contenida en $S_{t_2}$ y la historia del proceso es irrelevante (porque está "encapsulada" en $S_{t_2}$ ): el proceso de existencias es, pues, un proceso de Markov.