GMM - cuando se identifica un modelo

Question

Supongamos que utilizamos GMM para estimar el modelo $y=m(x;\theta_0)+u$ (para alguna función $m$ y $\theta_0 \in\mathbb{R^p}$ ) y utilizamos la condición de momento: $\mathbb{E}[g(\theta_0)]=0$ donde $g:\mathbb{R^p}\rightarrow\mathbb{R^p}$ por lo que el modelo se acaba de identificar. Mi pregunta es cómo sabemos que nuestro estimador $\hat\theta$ no depende de la matriz de pesos?

Gracias.

Answer 1

En el caso exactamente identificado, es natural suponer que un único $\theta$ satisface $\bar{g}(\theta) = 0$ porque el número de parámetros es igual al número de ecuaciones. Sea $\hat\theta$ denotan tales $\theta$ valor.

Cuando $W$ es positiva definida, $\bar{g}(\theta)' W \bar{g}(\theta) \ge 0$ (porque $W$ es positiva definida), y $\bar{g}(\theta)' W \bar{g}(\theta)$ llega a cero si y sólo si $\bar{g}(\theta)=0$ . Es decir, el minimizador global de $\bar{g}(\theta)' W \bar{g}(\theta)$ es igual a la solución de $\bar{g}(\theta)=0$ que es $\hat\theta$ , para cualquier cosa definida positiva $W$ matriz. Así, $W$ es irrelevante.

Tenga en cuenta que este argumento no es válido si $W$ no es positiva definida. Por ejemplo, si $W$ es semidefinido positivo pero no definido positivo, entonces el estimador GMM puede no ser único.