Utilidades no únicas en un equilibrio competitivo

Question

Como continuación a esta pregunta: Unicidad de las utilidades en el equilibrio competitivo Creo que he encontrado un ejemplo sencillo en el que las utilidades en equilibrio no son únicas, y quería comprobar si es cierto.

Se trata de una economía de intercambio con dos bienes y dos agentes con utilidades:

$$u_1(x,y)=2x+y$$ $$u_2(x,y)=3x+y$$

Inicialmente, cada agente tiene 1 unidad de $x$ y 5 unidades de $y$ .

Supongamos que $p_y=1$ . Entonces, siempre que $p_x\in[2,3]$ la economía está en equilibrio, ya que el agente 1 quiere vender todo su $x$ dotación y el agente 2 quiere comprar todo $x$ . Así que las utilidades de equilibrio serán:

$$u_1 = 5+p_x$$ $$u_2 = 11-p_x$$

Esto demuestra que los servicios públicos no son únicos.

A. ¿Son correctos mis cálculos?

B. Si son correctos, ¿qué ocurrirá en una economía competitiva real? Dado que los equilibrios son esencialmente diferentes, ¿cuál de ellos prevalecerá?

EDIT: Después de volver a leer el libro de teoría de precios, no estoy seguro de mis cálculos. El libro define un equilibrio competitivo como una situación en la que la suma de las demandas es exactamente igual a la suma de las dotaciones. La demanda de un agente se define como el paquete óptimo que puede permitirse utilizando su dotación inicial. Ahora:

• Siempre que $p_x<3$ la demanda del agente 2 es $(1+5/p_x,0)$ - quiere comprar $x$ con toda su dotación de $y$ . Dado que la cantidad total de $x$ es 2, esto implica $p_x\geq 5$ - una contradicción.
• Siempre que $p_x>3$ la demanda de ambos agentes es $(0,5+p_x)$ - ambos quieren comprar sólo $y$ que obviamente no es un equilibrio.
• Por lo tanto, debemos tener $p_x=3$ . Ahora el agente 2 es indiferente entre comprar o vender $x$ mientras que el agente 1 sólo quiere comprar $y$ . Por lo tanto, la demanda del agente 1 es $(0,5+p_x)=(0,8)$ .
• Por tanto, en este caso existe un único equilibrio en el que $p_x=3$ el agente 1 recibe $(0,8)$ y el agente 2 obtiene $(2,2)$ las utilidades son 8 y 8.

Ahora estoy confundido: ¿el vector de utilidad es único o no?

Answer 1

Esta respuesta es en respuesta a la pregunta editada (2015.10.16 ca. 12:30 CET).

Creo que el concepto de equilibrio significa que, dadas las circunstancias, no tienes ningún incentivo para alterar tu comportamiento. (Esto se basa más o menos en el equilibrio de Nash).
En esta situación, el equilibrio consiste en un precio y una asignación de bienes. Dado el precio, todo el mundo toma una decisión comercial. La decisión tiene que ser factible tanto con respecto al presupuesto como a la disponibilidad física de los bienes, es decir, no se pueden comprar bienes que no existen. Estamos en equilibrio si la decisión de cada uno es óptima (para sí mismo).
En su situación para cualquier $p_x \in [0,2]$ existe una asignación de equilibrio, donde el consumidor 2 compró el bien $x$ del consumidor 1 para $p_x$ unidades del bien $y$ . No hay mejor factible decisión para cualquiera de ellos.

Si se adhiriera a la interpretación estricta/dogmática no habría ningún equilibrio, porque para cualquier $p_x <3$ el consumidor 2 quiere comprar una cantidad infinita de bienes $x$ y para cualquier $p_x > 2$ el consumidor 1 quiere vender una cantidad infinita de bienes $x$ . Como no hay $p_x$ tal que $p_x \leq 2, \ p_x \geq 3$ no se podría tener un equilibrio con cantidades finitas.