Definición de las carteras que maximizan el ratio de sharpe y minimizan la varianza

Question

En este documento, http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=2226985 En la derivación de la cartera eficiente de varianza media utilizando lagrangios en el apéndice, en la página 29, se definen las dos carteras:

$$ \pi_R=\frac{V^{-1}R}{1^TV^{-1}R}, \quad \pi_\sigma=\frac{V^{-1} 1}{1^TV^{-1}1} $$ donde $V$ es la matriz de covarianza, $R$ es un vector de columnas de rendimientos y $1$ es el vector de unos. $\pi_R$ se dice que es la cartera que maximiza el ratio sharpe mientras que $\pi_\sigma$ es la cartera que minimiza la varianza, no estoy muy seguro de cómo se siguen las definiciones

Actualización : Para el fondo:Si dejamos que $d$ sea un vector columna de pesos activos, es decir, la diferencia entre el peso de la cartera y el índice de referencia, entonces el objetivo es $$ \text{max} ~~R^T d $$ con sujeción a $$ d^T V d = \sigma^2_\alpha, \quad 1^Td =0 $$ donde $\sigma^2_\alpha$ es la varianza de la rentabilidad aritmética de las carteras activas.

Estableciendo el lagrangiano y un poco de cálculo se llega a: $$ d=\frac{1}{2\lambda_1} \left( V^{-1}R - \left(\frac{1^TV^{-1}R}{1^TV^{-1}1} \right)V^{-1} 1\right) $$ Este es el último paso antes de definir las carteras.

Answer 1

El problema puede plantearse como el de maximizar la rentabilidad dado un objetivo de varianza o minimizar la varianza dado un objetivo de rentabilidad.

Dejemos que $\mu$ sea el vector de rendimientos esperados y $\Omega$ la matriz de covarianza de los rendimientos de $n$ activos. El problema de optimización de Markowitz consiste en encontrar la cartera de mínima varianza que consiga una rentabilidad esperada $\mu_p$ .

$$w^* = {\arg\,\min} \frac{1}{2} w^t \Omega w$$

con sujeción a las restricciones de la suma de pesos $u^t w = 1$ y devuelve las restricciones $\mu^t w = \mu_p $ donde $u$ es el vector unitario compuesto por unos: $u^t=(1, \ldots 1)$ .

Con este problema, obtenemos un Lagrangiano con 2 restricciones lineales que permiten encontrar las 2 carteras de forma mucho más sencilla. La matemática para las 2 carteras se deriva aquí: http://www.markowitzoptimizer.pro/wiki/EfficientFrontierMath

Es relativamente sencillo demostrar que la cartera cuyas ponderaciones no dependen de la rentabilidad tiene una varianza mínima. Demostrar que la segunda cartera tiene el máximo de Sharpe es más complicado, por lo que la prueba real está vinculada a esta conferencia: https://www.ie.bilkent.edu.tr/~mustafap/courses/OIF.pdf