La replicación de una opción de compra por dinero en efectivo-o-nada de opción digital

Question

Estoy tan atrapado en esta pregunta: Considere dos de activos modelo de activo 0 es efectivo, por lo que el precio de los activos 0 es de $B_t=1$ para todo $t \geq0$. Activo 1 tiene los precios dados por $dS_t = a(S_t) dW_t$, donde la función dada $a$ es positivo y suave, y tal $un$ y su derivado de $a'$ es acotada. Deje que $\xi_t$ ser el tiempo$t$ precio de una opción call Europea con la madurez $T$ y la huelga de $K$. Deje que $V: [0,T] \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{+}$ satisfacer el PDE (con la condición de límite) \begin{ecuación} \frac{\partial V}{\partial t} (t,S) + \frac{a(S)^2}{2} \frac{\partial^2}{\partial S^2} V(t,S) =0, \quad V(T,S)= (S-K)^{+}. \end{ecuación} Dejamos que $\xi_t = V(t,S_t)$ de modo que no hay arbitraje.

Queremos mostrar que la opción de llamada $\xi_t$ puede ser replicado por la celebración de $\pi_t = U(t, S_t)$ unidades de stock, donde $U: [0,T] \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ satisface la PDE (con la condición de límite) \begin{ecuación} \frac{\partial U}{\partial t} (t,S) + a(S) a'(S) \frac{\partial}{\partial S} U(t,S) +\frac{a(S)^2}{2} \frac{\partial^2}{\partial S^2} U(t,S) =0, \quad U(T,S)= \mathbf{1}_{ \{S\geq K \}}. \end{ecuación}

Lo que he hecho hasta ahora:

Deje que la estrategia sea $\phi_t$ unidades de dinero en efectivo, $\pi_t = U(t,S_t)$ unidades de stock.

Claramente, por definición, $\phi_t = \xi_t - U(t,S_t) S_t$. Sin embargo, esto no parece funcionar, ya que no es de auto-financiamiento:

Por el Lema de Ito, $d \xi_t = d V(t, S_t) = \frac{\partial V}{\partial S} un(S_t) dW_t$ (con el primer conjunto de PDE). Por lo tanto, afirmando que es la auto-financiación que equivale a decir que \begin{ecuación} \frac{\partial V}{\partial S} un(S_t) dW_t = U(t,S_t) un(S_t) dW_t + \phi_t dt, \end{ecuación} que claramente no es cierto. Alguna idea?

Answer 1

Creo que el título es engañoso. Volvamos a la BS mundo con $r=0$ a $a(S_t)=S_t \sigma.$ En ese caso, todo lo que usted está diciendo es que se puede replicar una opción de compra por la celebración de $N(d_1)$ unidades de stock en tiempo $t.$

¿Qué tiene que ver esto con la segunda ecuación? Supongo que este es el precio de proceso de un activo de la nada con la opción de las acciones tomadas como numeraire por lo que evalúa a $N(d_1).$

Así que mi planteamiento sería repetir el BS replicación argumento cuando $\sigma$ es permitido ser una función de $S_t.$ Luego trabajamos con el stock como numeraire para obtener el hecho de que el delta se satisface la segunda ecuación.

Answer 2

El ejercicio no es realmente acerca de la replicación de una llamada con el activo o nada. Simplemente se trata de la PDE de la delta de una llamada.

La costumbre de la derivación de la BS ecuación se inicia mediante la consideración de un portafolio de corto la opción $$ \Pi_t = \delta^0_t B_t + \delta_t S_t - V(t,S_t) $$ Suponiendo que la cartera es selfinancing (y la tasa de interés = 0), obtenemos $$ d\Pi_t = \delta_t dS_t - dV(t,S_t) = (\delta_t - \partial_SV)un(S_t)dW_t - (\partial_tV + \frac{1}{2}a(S_t)^2\partial^2_{SS}V)dt $$ Hacemos la cartera libres de riesgo por la elección de $\delta_t = \partial_S V(t,S_t)$. Y como $\Pi$ es ahora libres de riesgo se debe ganar la tasa libre de riesgo de 0, por lo que nos da la PDE para V. $$ \partial_tV + \frac{1}{2}a(S)^2\partial^2_{SS}V = 0 $$ Derivando la PDE para wrt V S da el PDE para $\delta(t,S) = \partial_S V(t,S) = U(t,S)$: $$ \partial_tU + a(S)a'(S)\partial_{S}U + \frac{1}{2}a(S)^2\partial^2_{SS}U = 0 $$ Ajuste el valor inicial $\Pi_0 = 0$ se asegura de que $\Pi_t = 0$ $\forall t$ para replicar $V$ a la perfección mediante la celebración de $\delta_t = U(t,S_t)$ unidades de $S_t$.

PS: yo escribí $\delta^0_t$ y $\delta_t$ en vez de $\phi_t,\pi_t$. El error en el proceso de auto-financiación de la ecuación es que se debe escribir $$ dV(t,S_t) = \pi_tdS_t + \phi_t dB_t $$ pero $B_t = 1$ para $dB_t = 0$ y nos quedamos con $$ \partial_S V(t,S_t) un(S_t)dW_t = U(t,S_t)un(S_t)dW_t $$ que es otra manera de encontrar $\pi_t = U(t,S_t) = \partial_S V(t,S_t)$.

Answer 3

Sin entrar en todas las Matemáticas de una cosa debe quedar claro que: Opción Call es equivalente a: a largo activo o nada Y corto de dinero en efectivo o nada de las opciones.

No se pueden replicar de una opción de compra sin activo o nada desde replicar la cartera para llamadas de larga requiere la celebración de N(d1) cantidad de subyacentes. Activo o nada le da esta exposición directamente. El cortocircuito de dinero en efectivo o nada de lo que paga $K en la madurez proporciona el resto de la exposición necesaria para replicar el tiempo de la llamada opción.