Puede encontrar la derivación de la función característica de Heston (su transformada de Fourier) en Gatheral (2006) .
Utilizando la función característica, se puede optimizar el modelo sobre los precios. Hay múltiples enfoques para optimizar, entre otros la búsqueda de patrones (que es muy lenta) y la optimización estocástica (salta aleatoriamente y se detiene después de n iteraciones), pero recomiendo una mezcla de ambos. A menudo utilizo el recocido simulado adaptativo para una calibración inicial y luego ejecuto una búsqueda de patrones. Dependiendo del lenguaje que utilices, estos están disponibles como funciones y es bastante simple de implementar.
Si no recuerdo mal, la transformada de Fourier/función característica del modelo de Heston es
$$ \phi_T(u) = \exp\{C(u,\tau)\theta + D(u,\tau)v_0\}$$
donde
$$ C(u,\tau)=\ \kappa \left[r_{-} \tau - \frac{2}{\eta^2}\log\left(\frac{1-g e^{-d\tau}}{1-g}\right) \right] $$
$$D(u,\tau)=\ r_{-} \frac{1-e^{-d\tau}}{1-ge^{-d\tau}} $$
$$g =\ \frac{r_{-}}{r_{+}} $$
$$r_{\pm} =\ \frac{b\pm d}{\eta^2} $$
$$d =\ d=\sqrt{b^2-4ac} $$
$$c =\ \frac{\eta^2}{2} $$
$$b =\ \kappa-\rho\eta iu$$
$$a =\ -\frac{u^2}{2} - \frac{iu}{2} $$
Gatheral también proporciona derivaciones para SVJ, SVJJ, VarG, etc.
