Portafolio con muchos subportfolios

Question

Un administrador de cuentas tiene $N$ ollas de dinero distintas y del mismo tamaño, que se utilizarán para hacer $N$ subcarpetas distintas, cada una de las cuales se extrae de un conjunto de activos potenciales ligeramente diferentes (pero potencialmente superpuestos).

Las tasas de rendimiento de todos los activos en todo el problema están contenidas en el vector $\textbf{R}$:

$\textbf{R}= \begin{pmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_I \end{pmatrix}$

Las tasas de rendimiento de cada activo son variables aleatorias distribuidas normalmente.

Cada subcarpeta $n=1,2,...,N$ asigna pesos de inversión, representados en el vector $x_n$, a los diferentes activos en su conjunto particular de $K$ activos potenciales, que se encuentran en posiciones dispersas dentro del vector $\textbf{R}$. (El 'universo invertible' para cada subcarpeta no es aleatorio. Los activos disponibles para cada subcarpeta son muy específicos, pero no necesariamente están agrupados en la misma región del vector $\textbf{R}$.)

$\textbf{x}_n= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_K \end{pmatrix}$

Los pesos dentro de cada subcarpeta deben sumar 1, es decir, donde $\textbf{1}$ es un vector de dimensiones de K por 1 de 1s:

$\textbf{x}_n\textbf{1}=x_1+x_2+...+x_K=1$

Las tasas de rendimiento de los activos específicos pertenecientes a la subcarpeta $n$ podrían enumerarse en otro vector, $\textbf{R}_n$.

Una matriz de varianza-covarianza $\textbf{C}$ contiene todas las varianzas asociadas con cada activo y las covarianzas en los rendimientos entre ellos. Al gerente solo le interesa el rendimiento esperado y la varianza de toda la cartera. Si algunas subcarpetas sufren por el bien mayor de toda la cartera, que así sea.

Si pudiera poner todos los vectores de subcarteras $\textbf{x}_n$ en un solo vector de pesos $\textbf{X}$ (conteniendo todas las inversiones realizadas en toda la suite de subcarteras), la varianza de toda la cartera sería, presumiblemente, $\sigma^2_p=\textbf{X}'\textbf{C}\textbf{X}$.

Me gustaría saber cómo resolvería el problema de optimización para el administrador de cuentas en cuanto a cómo distribuir sus inversiones dentro de cada subcarpeta, dadas las covarianzas, etc., entre los diferentes activos. ¡Poner todas sus inversiones en el activo con el rendimiento esperado más alto dentro de cada subcarpeta es presumiblemente un movimiento incorrecto si estos activos están todos muy correlacionados!

¿Simplemente configuraría esto como un problema de multiplicador de Lagrange con un montón de restricciones, cada una especificando el 'universo invertible' disponible para cada subcarpeta? No sé por dónde empezar, así que cualquier consejo sobre este tipo de pregunta sería realmente apreciado. ¡Gracias!

Answer 1

Una forma de hacer esto es la siguiente (puedes codificar todas estas restricciones si usas el software correcto, yo hago estas cosas usando mathematica)

1. Define $w_{i,j}$ como el peso del activo $j$ en el subportafolio $i$, además defines $w =(w_j)_{j=1}^{\text{número de activos}}$ el peso total del portafolio en el activo $j$.
2. Los objetos de la optimización son entonces la varianza total del portafolio $w^T \Sigma w $ y el retorno total esperado $w^T \mu$.
3. Defines un grupo de restricciones. Aquellas que necesitas y las restricciones del universo $$ w_{i,j} = 0 $$ si el activo $j$ no está permitido en el subportafolio $i$, la restricción total del peso para cada activo $j$: $$ \sum_{i=1}^{\text{número de portafolios}} w_{i,j} - w_j = 0 $$ que es simplemente una restricción lineal. El presupuesto para cada subportafolio $i$ $$ \sum_{j=1}^{\text{número de activos}} w_{i,j} = \text{fracción total del subportafolio}. $$

Así que tienes muchas variables: número de activos por número de subportafolios + número de activos. Solo los pesos totales en los activos entran en la función objetivo. Todo lo demás se hace en restricciones inteligentes.