El precio de un contrato de estilo asiático a futuro con una característica de ejercicio temprano

Question

¿Existe una forma analítica de calcular el precio o aproximarse a un contrato con pago $A_t - K$ donde $A_t$ es el precio medio corriente del activo subyacente de $[0, t]$ y $K$ es un golpe (fijo).

Si este es un contrato de estilo europeo, creo que podemos replicarlo usando la paridad de llamada. ¿Y si es americano (ejercicio temprano)? ¿Cómo se puede calcular el precio/aproximar el valor de la opción de ejercicio temprano en dicho contrato?

Answer 1

Bienvenido a Quant SE. Desafortunadamente no hay una fórmula cerrada para calcular el valor del contrato americano $ \max_ { \tau }E^P \left [e^{-r \tau }(A_{ \tau } - K) \right ]$ así que hay que recurrir al método americano de Monte Carlo o a un esquema de diferencias finitas de PDE bidimensional para la dinámica de las juntas. $$ dS_t/S_t = (r - q) dt + \sigma dW_t \\ dA_t = d \left ( \frac {1}{t} \int_0 ^t S_u du \right ) = \frac {S_t-A_t}{t} dt $$ En el caso de que $r=0$ el problema se reduce a la informática $$ \max_ { \tau }E^P \left [A_{ \tau } \right ] - K = \max_ { \tau }E^P \left [S_{ \tau }m_{ \tau } \right ] - K = S_0 \max_ { \tau }E^{ \tilde {P}} \left [e^{-q \tau }m_{ \tau } \right ] - K $$ donde $m_t=A_t/S_t$ , $ \tilde {P}$ es la medida neutra de riesgo de existencias, y la dinámica para $m_t$ bajo $ \tilde {P}$ es $$ d m_t= \left ( \frac {1-m_t}{t}+qm_t \right )dt+ \sigma m_t d \tilde {W}_t $$ y puedes recurrir a un esquema de diferencias finitas de PDE en una dimensión.