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Precio a futuro vs precio de futuros - Wilmott

Yo estoy leyendo a Paul Wilmott del libro PWOQF2, y hay algo que no entiendo en su derivación de la convexidad de ajuste entre avance y precios de futuros (cap. 30).

Él modelos $S$ y $r$ siguientes SDEs $$dS_t = \mu S_t dt +\sigma S_t dX_1$$

$$dr_t = u(r,t)dt + w(r,t) dX_2$$

$$d\langle X_1, X_2 \rangle_t = \rho dt$$

en virtud de la medida física, el riesgo-neutral medir la dinámica de ser el mismo hasta que el precio de mercado del riesgo de plazo $\lambda$.

Él muestra el conocido resultado de avance de los precios, es decir,

$$\text{Avanzar precio} = \frac{S}{Z}$$ donde $Z$ es el bono cupón cero de los precios. Hasta entonces todo está bien.

Entonces escribe el precio de los futuros como $F(S, r, t) = \frac{S}{p(r,t)}$, donde $p$ es algún tipo de factor de descuento. Después de su rutina habitual, obtenemos los precios de la PDE para un derivado dependiendo de $S$ y $r$: $$\frac{\partial F}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2^2\frac{\partial^2 F}{\partial S^2}+\rho\sigma Sw\frac{\partial^2 F}{\partial S \partial r} + \frac{1}{2}w^2\frac{\partial^2 F}{\partial r^2} + rS\frac{\partial F}{\partial S} + \left( u - \lambda w \ \ derecho)\frac{\partial F}{\partial r} = 0$$

Y entonces él se deriva un PDE para $p$: $$\frac{\partial p}{\partial t} + \frac{1}{2}w^2\frac{\partial^2 p}{\partial r^2} + \left( u - \lambda w \ \ derecho)\frac{\partial p}{\partial r} - rp \underline{-w^2\frac{\left(\frac{\partial p}{\partial r}\derecho)^2}{q} + \rho\sigma\beta\frac{\partial p}{\partial r}} = 0$$ comentando que "Simplemente enchufe la similitud de la forma de la ecuación para ver esto".

Mis preguntas son :

  1. ¿Qué similitud forma? Y en el que la ecuación? (No está claro en absoluto para mí...)
  2. ¿Ustedes tienen alguna idea de donde la $p$ y $\beta$ en el subrayado de términos (el famoso convexidad de ajuste) vienen? Ellos nunca aparecen en las ecuaciones dadas al inicio de la sección (sí, el largo resumen que fue por eso)

Muchas gracias por tu ayuda!

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boucekv Puntos 103

Modulo los dos $\beta$ y $q$ errores, la prueba no es tan complicado en realidad. La similitud de la solución es simplemente $F(S, r, t) = \frac{S}{p(r, t)}$ y tiene que ser de entrada en la anterior fijación de precios de la PDE. Por lo tanto, reemplazar : $$\frac{\partial F}{\partial t} = -\frac{S}{p^2}\frac{\partial p}{\partial t}$$ $$\frac{\partial F}{\partial S} = \frac{1}{p}$$ $$\frac{\partial^2 F}{\partial S^2} = 0$$ $$\frac{\partial F}{\partial r} = -\frac{S}{p^2}\frac{\partial p}{\partial r}$$ $$\frac{\partial^2 F}{\partial r^2} = -\frac{S}{p^4}\left[p^2 \frac{\partial^2 p}{\partial r^2}-2p\left( \frac{\partial p}{\partial r} \derecho)^2 \derecho] \equiv -\frac{S}{p^3}\left[p \frac{\partial^2 p}{\partial r^2}-2\left( \frac{\partial p}{\partial r} \derecho)^2 \derecho]$$ $$\frac{\partial^2 F}{\partial S \partial r} = -\frac{1}{p^2}\frac{\partial p}{\partial r}$$ $$\Rightarrow -\frac{S}{p^2}\frac{\partial p}{\partial t} - \frac{\rho\sigma Sw}{p^2}\frac{\partial p}{\partial r} - \frac{1}{2} w^2 \frac{S}{p^3}\left[p \frac{\partial^2 F}{\partial r^2}-2\left( \frac{\partial p}{\partial r} \derecho)^2 \derecho] + r\frac{S}{p} - (u - \lambda w)\frac{S}{p^2}\frac{\partial p}{\partial r} = 0$$ Multiplicar por $-\frac{p^2}{S}$ y hemos terminado. $$\frac{\partial p}{\partial t} + \frac{1}{2} w^2 \frac{\partial^2 p}{\partial r^2} + (u - \lambda w) \frac{\partial p}{\partial r} - rp \underline{- \frac{w^2}{\color{red}{p}} \left( \frac{\partial p}{\partial r} \derecho)^2 + \rho\sigma \color{red}{w} \frac{\partial p}{\partial r}} = 0$$

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