Puede el Valor de la cartera en Riesgo se calcula analíticamente multivariante t-distribuido devuelve?

Question

Es ampliamente conocido que el VaR no es generalmente sub-aditivo en todos, pero el más restrictivo de los casos (por lo general cuando una Gaussiana de retorno de distribución se asume, que falla cuando lo que más importa).

Los valores de Riesgo, basado en simulaciones de violar subadditivity debido a que la simulación de la VaR de una cartera puede ser mayor que la suma de los activos de VaRs, lo que contradice la diversificación.

Es posible estimar la matriz de covarianza de la muestra $\hat\Sigma$ y el vector de retornos esperados $\hat\mu$ para una cartera de activos – como sería para un multivariante de Gauss – pero entonces, además de estimar (o, simplemente, asumir) un valor de $\hat\nu$ para los grados de libertad de un multivariante $t$-distribución y a la conclusión de que el rendimiento de la cartera seguirá un $t$-distribución con $\theta = [\hat{\mu}_p, \hat{\sigma}_p, \hat{\nu}_p]$, donde $\hat{\nu}_p$ es el "agregados" grados de libertad parámetro?

Está claro que el estimado de la cartera media de retorno es de $\hat{\mu}_p = \omega' \hat{\mu}$ y la volatilidad de la cartera es de $\hat{\sigma}_p = \omega'\hat{\Sigma}\omega$, donde $\omega$ es el $N\times1$ vector columna de la cartera de pesos, por lo que la distribución de Gauss "agregados" fácilmente desde multivariante univariado. Lo que no me queda claro es si los grados de libertad de parámetros lleva de la multivariante de distribución para la distribución univariante como se describió anteriormente, de manera tal que $\nu_p = \nu$.

Answer 1

Deje que el $n-$dimensiones del vector de retornos $\mathbf{r}$ tiene un multivariante t de distribución con $\nu$ grados de libertad. La distribución marginal de cualquier componente $r_i$ tiene un univariante t de distribución también con $\nu$ grados de libertad.

Para ver esto, suponiendo que la media de retornos han sido sustraída, el multivariante distribución t se descompone como la distribución de los $\mathbf{r} = s^{-1} \mathbf{z}$ donde $\mathbf{z}$ tiene una distribución normal multivariante con algunos matriz de covarianza $\Sigma$ y el independiente variable aleatoria $s$, donde $\nu s^2$ tiene un chi-squred de distribución con $\nu$ grados de libertad.

Escrito $\{\mathbf{r} \leqslant \mathbf{x}\}$ como el evento de $\bigcap_{i=1}^n\{r_i \leqslant x_i\}$, vemos que $$P(\mathbf{r} \leqslant \mathbf{x}) = P(s^{-1}\mathbf{z} \leqslant \mathbf{x}) = P( \mathbf{z} \leqslant s\mathbf{x}),$$

y de la distribución conjunta de función (para independientes s y $\mathbf{z}$) es

$$F(\mathbf{x}) = \int_0^\infty\int_{-\infty}^{s\mathbf{x}} \frac{2 (\nu/2)^{\nu/2}}{\Gamma(\nu/2) s}^{\nu-1} e^{-\nu s^2/2}(2\pi)^{-n/2} |\Sigma|^{-1/2} e^{{-\frac{1}{2}\mathbf{\xi}' \Sigma^{-1}}\mathbf{\xi}}\, d \mathbf{\xi} \, ds.$$

Desde distribuciones marginales de una distribución normal multivariante son normales, se puede dejar la parte superior de integración límites de $x_j \to \infty$ para todo $j \neq i$ y obtener la univariante t de distribución con $\nu$ grados de libertad como la distribución marginal de $r_i$:

$$F_i(x_i) = \int_0^\infty\int_{-\infty}^{sx_i} \frac{2 (\nu/2)^{\nu/2}}{\Gamma(\nu/2) s}^{\nu-1} e^{-\nu s^2/2}(2\pi)^{-1/2} \sigma_{i}^{-2} e^{{-\frac{\xi_i^2}{2\sigma_i^2}}}\, d \xi_i \, ds.$$

La pregunta ahora es ¿cómo es una combinación lineal $\mathbf{\omega}'\mathbf{r}$ distribuido, dado que los componentes de $\mathbf{r}$ t distribuciones con $\nu$ grados de libertad. A diferencia de la normal varia la combinación en general no preservar la t de distribución.

Cómo la combinación es distribuido se discute aquí.