Cambios indirectos en la demanda marshalliana

Question

Supongamos que tenemos una función de utilidad Cobb-Douglas: $$U(x,y)=x^\alpha y^\beta$$ y una restricción presupuestaria: $$p_{x}x+p_{y}y=I$$ donde $\alpha+\beta=1$ .

Se puede demostrar que la demanda marshalliana de $x$ y $y$ es $x^*=\frac{\alpha I}{p_{x}}$ y $y^*=\frac{\beta I}{p_{y}}$ respectivamente.

¿Un cambio en $p_{y}$ afectan a la cantidad de $x$ ¿exigido? Mirando $x$ La demanda marshalliana, parece que dicho cambio no afectará a la cantidad de x demandada, sino que $p_{x}$ y $p_{y}$ están relacionados por la restricción presupuestaria, lo que hace que no esté muy seguro.

Answer 1

Ha derivado correctamente la función de demanda marshalliana para la utilidad Cobb-Douglas, observa que el nivel óptimo de consumo de $x$ o $y$ es función únicamente de la renta del individuo y del precio de dicho bien. Esta es una característica interesante de la CD-utilidad, que cuando el precio del bien $y$ cambia la demanda de $x$ no cambia. Esto significa que $x$ y $y$ no son ni sustitutivos ni complementarios entre sí. Econport tiene una bonita figura de esto:

$\hskip2in$

La primera figura muestra que a medida que el precio del bien $x$ cambia la cantidad de $x$ cambia pero la cantidad de $y$ no cambia. La segunda figura muestra que cuando el precio aumenta la cantidad demandada disminuye y viceversa cuando el precio disminuye.

Además, la utilidad CD implica una utilidad estricta cuasicóncava, de modo que el conjunto de indiferencia es estrictamente convexo, por lo que $\vec{x}^* (\vec{p},I)$ es de un solo valor. Con precios constantes para $y$ y los precios $p_a, p_b, p_c$ para $x,$ elegimos el nivel óptimo de consumo de cada producto en los puntos $a = (x_a, y_a) ,b = (x_b, y_b) ,c = (x_c, y_c)$ , tal que la pendiente del hiperplano del presupuesto y la pendiente de la tangente de la curva de indiferencia sean iguales.

Answer 2

Para añadir brevemente a la respuesta de Sunhwa, el razonamiento intuitivo de por qué el precio de $y$ no afecta al consumo del bien $x$ es debido a las propiedades únicas de la función de utilidad Cobb-Douglas. Al cambiar el precio de un bien, cambia la relación de precios, que es parte de lo que determina la relación de bienes consumidos. Por tanto, aunque el precio de $y$ subieran y te hicieran comprar menos $y$ que también cambiaría la proporción de bienes que está comprando, incluso si no cambia $x$ . En este caso, la condición de optimización termina siendo para no tener que cambiar $x$ en absoluto (en igualdad de condiciones).

$$\frac{p_y}{p_x} \cdot \frac{\alpha}{\beta} = \frac{x}{y}$$

Examine esta condición como considere oportuno.