Esperanza condicional de un proceso estocástico no

Question

En un ejemplo, yo estaba trabajando a través de él se muestra que $W_{t}^{2} - t$ era una martingala con respecto al movimiento Browniano de filtración de $\mathcal{F}_{s}^{W}$ con $t>s$. Todo estaba bien, excepto una parte en la prueba, donde el autor utiliza el hecho de \begin{ecuación} E(t|\mathcal{F}_{s}^{W}) = s \end{ecuación}

Yo no puedo ver la razón de esto. Por ejemplo, si tomamos un proceso de $X(t,\omega) = t$, entonces parece que $X$ es no estocástica, y de hecho es independiente de $\omega$ para todo $\omega$ en el espacio muestral -- ¿entonces, por qué la esperanza condicional en la ecuación anterior tiene sentido?

Answer 1

La pregunta anterior fue un error debido a que el autor -- la expresión debe ser evaluado como \begin{ecuación} E(t|\mathcal{F}_{s}^{W}) = t \end{ecuación}

debido a que el razonamiento de la pregunta. Lo siento por el ruido.

Answer 2

Quizás nos quiere dar la exacta declaración del autor.

Deje que el proceso de Wiener $W_{s}$ se a r.v. desde $\left(\mathcal{F}_{s},\Omega\derecho)\a\left(\mathcal{B}\left(\mathbb{R}\derecho)\mathbb{R}\right)$. El Borel-$\sigma$álgebra de $\mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)$ contiene todos los intervalos de la forma $\left[x,y\right]$ para $x\neq y\in\mathbb{R}$, porque tienes que ser capaz de decir a tiempo $s\geq 0$ si el proceso de Wiener $W_{s}$ tiene su valor en este intervalo de tiempo o no. En el orden de $W_{s}$ ser medibles todas las pre-imágenes de esta intervalos tienen que estar en los $\sigma$álgebra de $\mathcal{F}_{s}^{W}$. Por lo que el (determinista) al azar de la variable $X\left(t,\omega\derecho)=t$ es también medibles en el tiempo $s\geq 0$ porque nos puede decir en qué intervalo es su valor. Pero el determinismo r.v. $X\left(t,\omega\derecho)=t$ no dependen de $\omega$, por lo que la pre-imagen de cada obtenible resp. no se puede obtener el intervalo es de $\Omega$ resp. $\emptyset$.

Cada determinista r.v. es medible en el trivial $\sigma$álgebra de $\mathcal{F}_{0}:=\left\{\emptyset,\Omega\right\}$, que está contenida en cada una de las otras $\sigma$álgebra de $\mathcal{F}_{s}^{W}$. Así que incluso si hemos estado en el más grueso (más pequeño) $\sigma$álgebra de $\mathcal{F}_{s}^{W}$ un determinista r.v. es medible y sólo necesitamos el trivial $\sigma$álgebra de $\mathcal{F}_{0}$. Pero que es \begin{ecuación} \mathbb{E}\left[t\mid\mathcal{F}_{0}\derecho] = \mathbb{E}\left[t\right] = t \mathrm{.} \end{ecuación}