Prueba de que los rendimientos lineales se agregan entre los valores

Question

Sigo leyendo que los rendimientos lineales se agregan a través de los valores, pero tengo problemas para probarlo. Sospecho que hay algún error en mi planteamiento; agradecería alguna ayuda para verlo.

Supongamos que tenemos dos valores, $A$ et $B$ . Tienen precios en timestep $t$ de $P_A^t$ et $P_B^t$ respectivamente. La cartera tiene ponderaciones $w_A$ et $w_B$ que suman 1. El precio de la cartera es entonces

$$P_P^t = w_A P_A^t + w_B P_B^t.$$

Definimos los rendimientos lineales mediante la fórmula

$$R^t = \frac{P^t}{P^{t-1}} - 1.$$

Así, los rendimientos lineales de la cartera son

$$R_P^t = \frac{P_P^t}{P_P^{t-1}} - 1 = \frac{w_A P_A^t + w_B P_B^t}{w_A P_A^{t-1} + w_B P_B^{t-1}} - 1$$

Veo que se reclama en varios lugares en internet que estos rendimientos se agregan a los valores, es decir, que

$$R_P^t = w_A R_A^t + w_B R_B^t.$$

Sin embargo, esta fórmula da como resultado

$$ R_P^t = w_A \frac{P_A^t}{P_A^{t-1}} + w_B \frac{P_B^t}{P_B^{t-1}} - 1$$

que, por lo que veo, no es en general igual a la expresión anterior de los rendimientos. En particular,

$$ w_A \frac{P_A^t}{P_A^{t-1}} + w_B \frac{P_B^t}{P_B^{t-1}} \neq \frac{w_A P_A^t + w_B P_B^t}{w_A P_A^{t-1} + w_B P_B^{t-1}}.$$

¿Qué me falta aquí? Necesito poder utilizar la linealidad al justificar la optimización al estilo Markowitz.

Answer 1

Creo que simplemente estás confundiendo los pesos porcentuales y el número de activos.

En su definición, el porcentaje de peso inicial de la $m$ los activos de la cartera vienen dados por $w_i^{t - 1}$ y suman uno, es decir

\begin{equation} \sum_{i = 1}^m w_i^{t - 1} = 1. \end{equation}

Ahora defina el número absoluto de activos como $n_i$ . Están vinculados a los pesos porcentuales a través de

\begin{equation} w_i^{t - 1} = \frac{n_i P_i^{t - 1}}{\sum_{j = 1}^m n_j P_j^{t - 1}}. \end{equation}

Como no se reequilibra la cartera, el número de activos se mantiene en $t - 1$ et $t$ . El valor de la cartera en cualquier momento $t$ es

\begin{equation} P_P^t = \sum_{i = 1}^m n_i P_i^t. \end{equation}

Entonces

\begin{eqnarray} R_P^t & = & \frac{P_P^t}{P_P^{t - 1}} - 1\\ & = & \frac{\sum_{i = 1}^m n_i P_i^t}{\sum_{j = 1}^m n_j P_j^{t - 1}} - 1\\ & = & \sum_{i = 1}^m \left( \frac{n_i P_i^{t - 1}}{\sum_{j = 1}^m n_j P_j^{t - 1}} \right)\frac{P_i^t}{P_i^{t - 1}} - 1\\ & = & \sum_{i = 1}^m w_i^{t - 1} \frac{P_i^t}{P_i^{t - 1}} - 1\\ & = & \sum_{i = 1}^m w_i^{t - 1} R_i^t \end{eqnarray}

Tenga en cuenta que generalmente $w_i^t \neq w_i^{t - 1}$ .