Cómo calcular el resultado óptimo de Pareto en un juego con un equilibrio de Nash

Question

Tengo a mano un juego de dos períodos.

En el periodo 1, el sindicato decide la oferta salarial $w$ .

En el periodo 2, la empresa decide sobre L, dado el salario.

La unión maximiza $wL$

La empresa maximiza $=(L(100-L) - wL) \quad if \quad L<=50 \quad or\quad (2500 - wL) \quad if \quad L>50 $

Un SPNE de este juego es: w = 50, L = 25.

Necesito calcular la asignación de un pedido. Sé que existe, pero no estoy seguro de cómo obtenerla a partir de los resultados. (Ejemplo: w = 40, L = 40. Da tanto a la empresa como al sindicato unos beneficios mayores). Pero, ¿cómo puedo calcular el conjunto de resultados de la OP a partir de las funciones dadas? ¿O incluso un único resultado de la OP, sin necesidad de hacer conjeturas?

Answer 1

Para la optimización de Pareto, se puede ignorar el tiempo. Además, todo lo que sepas sobre los equilibrios de Nash en este juego es irrelevante.

Dejemos que $v_F(w, L)$ sea la retribución de la empresa y $v_U(w, L)$ sea el resultado de la unión dada $(w, L)$ . Lo que se busca son pares $(w, L)$ de tal manera que ni la empresa ni el sindicato puedan tener un beneficio mayor sin que la otra parte tenga un beneficio menor. De forma equivalente, se desea que la remuneración de la empresa sea lo más alta posible con la condición de que el sindicato no pueda tener una remuneración menor y que la remuneración del sindicato sea lo más alta posible con la condición de que la empresa no pueda tener una remuneración menor.

Esto significa que $(w,L)$ es el óptimo de Pareto si y sólo si resuelve los dos problemas de maximización siguientes:

$$\max_{(w',L')} v_F~\text{ s.t.}~v_U(w',L')\geq v_U(w,L).$$ $$\max_{(w',L')} v_U~\text{ s.t.}~v_F(w',L')\geq v_F(w,L).$$

Ahora bien, si sólo hay que encontrar un óptimo de Pareto y no todos los óptimos de Pareto, basta con maximizar $v_F+v_U$ .

Answer 2

Para encontrar los resultados óptimos de Pareto, basta con maximizar los ingresos totales del trabajo y de la empresa. \begin{eqnarray*} \max_{L} \ \ \begin{cases} L(100-L) & \text{if } L \leq 50 \\ 2500 & \text{if } L > 50 \end{cases}\end{eqnarray*} La solución al problema anterior es cualquier $L \geq 50$ . El ingreso total máximo correspondiente es de 2500, que ahora se puede dividir entre la mano de obra y la empresa de cualquier manera, con lo que se obtienen todas las asignaciones óptimas de Pareto. Por lo tanto, el conjunto de todos los resultados óptimos de Pareto en los que tanto la empresa como la mano de obra obtienen resultados no negativos es : $\{(w, L) \in \mathbb{R}^2_+ : L \geq 50, wL \leq 2500 \}$