VaR paramétrico con distribución Student-t

Question

Estoy usando VaR para estimar VaR paramétrico. He podido hacer esto utilizando una Distribución Normal, sin embargo, también quiero hacerlo utilizando una distribución t de Student y no estoy seguro de cómo implementarlo en Matlab.

Tengo un conjunto de datos de valores de cartera, tengo rendimientos logarítmicos y rendimientos, así como la media y la desviación estándar. El único método sugerido que pude encontrar en otro lugar fue el siguiente:

$\mu - t_\alpha * (sd/\sqrt{n})$

Donde $\mu$ es la media, sd es la desviación estándar, t es la t estadística en el nivel alfa y n es el número de rendimientos. Esto daría el nivel inferior del intervalo de confianza alfa.

¿Alguien puede confirmar si este es el método correcto o incorrecto para implementar VaR paramétrico utilizando una distribución t? Si es incorrecto, ¿cómo podría implementarlo?

Gracias

Answer 1

Tienes algunas cosas mal:

1. No necesitas dividir sd por $\sqrt{n}$, la división es parte de la definición de $sd$.
2. La distribución $t$ tiene un parámetro $\nu$, los grados de libertad.
3. La varianza de una variable aleatoria distribuida de manera estándar $t$ $T$ es $$VAR(T) = \frac{\nu}{(\nu-2)}.$$ Por lo tanto, debes definir $$\sigma = sd * \sqrt{\frac{(\nu-2)}{\nu}}$$ y una variable aleatoria $$X = \sigma T.$$ Entonces tendrás que $$VAR(X) = VAR(T \sigma) = \sigma^2 VAR(T) = sd^2 \frac{(\nu-2)}{\nu} \times \frac{\nu}{(\nu-2)} = sd^2.$$

Para VaR, estimas $\nu$ y $sd$ y miras $$\mu - \sigma t_{\alpha},$$ donde $\sigma$ está definido arriba y $t_{\alpha}$ es el cuantil de una distribución t con $\nu$ grados de libertad.