Números de Sobol en la simulación de Monte Carlo

Question

Quería averiguar cuánto más rápido convergen los números aleatorios cuasi-aleatorios de Sobol al precio de la llamada B&S en comparación con los números aleatorios pseudoaleatorios. Para generar los números de Sobol, utilicé la randtoolbox en R para generar estos números. Cuando solo se utiliza un paso, es decir, de t=0 a t=T, es fácil. Utilicé la siguiente fórmula para ir de s(0) a s(T).

S_t= S_0*exp((- ^2/2)*t+ W_t, donde W_t es un número aleatorio de Sobol

Utilizo los números de Sobol y por lo tanto la convergencia es mucho más rápida porque estos números están mejor distribuidos normalmente que cuando se usan números pseudoaleatorios.

Mi problema es el siguiente:

¿Cómo debo generar estos números si uso pasos intermedios en mi simulación, necesito usar más dimensiones o simplemente generar más números de Sobol a partir de los mismos números. Ya llevo mucho tiempo atascado en esto. Espero que alguien me pueda ayudar, especialmente utilizando el paquete randtoolbox de R para generar estos números.

Gracias

Answer 1

Primero permítanme decir que en el modelo Black-Scholes tal como lo tienes, por supuesto no hay necesidad de pasos intermedios al determinar el precio de las opciones de compra básicas, dado que la EDS tiene la solución en forma cerrada que incluiste. Pasos intermedios serían necesarios para pagos complicados u otras EDS.

Pero para responder a tu pregunta, sí necesitas usar dimensiones adicionales. Piensa en el algoritmo de fijación de precios de opciones como una integración sobre el espacio de probabilidad de los caminos de los precios de las acciones. Cada vencimiento intermedio introduce una nueva dimensión a ese espacio de probabilidad.

El propósito de estas secuencias cuasialeatorias es que, en múltiples dimensiones, proporcionan una cobertura más uniformemente distribuida del espacio de probabilidad de lo que nos darían los números pseudoaleatorios.

Cuasialeatorio

Si no hacemos extracciones multidimensionales de la secuencia Sobol, no se beneficiaríamos de esa regularidad adicional.

Pseudoaleatorio

Observa cómo estas extracciones pseudoaleatorias tienen múltiples lugares donde las muestras están justo al lado unas de otras, junto con algunos "agujeros" muy grandes.

Answer 2

Necesitas usar más dimensiones. Si el número de dimensiones (es decir, pasos) es grande, es posible que también debas usar un puente de Browniano como se describe en el libro de Joshi o Jäckel.