El comentario de Engle en su documento seminal "Riesgo y Volatilidad: Modelos econométricos y práctica financiera" menciona que
Recientemente había trabajado mucho con el filtro Kalman y sabía que una función de probabilidad podía descomponerse en la suma de sus densidades predictivas o densidades condicionales.
¿Cuál es el significado de esta afirmación? ¿Podría alguien explicar qué significa y cómo se puede utilizar?
Básicamente está diciendo que no hay que estimar los parámetros asumiendo que son los mismos en cada periodo.
Los parámetros de Arch y Garch suelen estimarse por máxima verosimilitud. En la MLE, los parámetros se estiman mediante $$ \theta \equiv argmax\left\{ \sum_{t=1}^{T}ln\left(f\left(x_{t}|\theta\right)\right)\right\} $$ donde $\theta$ son algunos parámetros y $f(x)$ es la función de densidad de probabilidad. Obsérvese que se aplica la misma $\theta$ a cada uno de los diferentes $x$ 's. A menudo se utiliza un filtro de Kalman para modelar coeficientes variables en el tiempo. En ese caso, la distribución es diferente en cada periodo. Así que es como ajustar lo anterior a $$ \theta \equiv argmax\left\{ \sum_{t=1}^{T}ln\left(f\left(x_{t}|\mu_{t}, \sigma \right)\right)\right\} $$ donde el $\mu_{t}$ representa la media de una distribución que cambia en el tiempo según el filtro de Kalman. La lógica puede extenderse al caso de Arch/Garch. Sin embargo, en lugar de centrarse en una media variable en el tiempo, se centran en una varianza variable en el tiempo. Por lo tanto, podría ser algo así como $$ \theta \equiv argmax\left\{ \sum_{t=1}^{T}ln\left(f\left(x_{t}|\mu, \sigma_{t} \right)\right)\right\} $$ donde $\sigma_{t}$ está condicionada a los parámetros $\theta$ que se estimaría como parte del proceso Garch.
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