Elección de epsilon para el cálculo numérico de la vega en binomio opción de modelo de fijación de precios

Question

Tengo un binomio opción-modelo de fijación de precios (no creo que los detalles de cómo su implementado son relevantes). Sin embargo, cuando voy a calcular vega, estoy esencialmente de ejecutar el modelo de un segundo tiempo con el nuevo volatilidad de entrada llamamos $\sigma + \epsilon$, donde $\sigma$ es la volatilidad de los utilizados para calcular el precio. Luego tengo dos precios $p1$ y $p2$, la primera de las cuales es una función de $\sigma$, y la segunda una función de $\sigma + \epsilon$. Yo, a continuación, calcular la vega a ser de $\frac{(p2 - p1)}{\epsilon}$.

Estoy teniendo problemas para venir para arriba con un buen valor de $\epsilon$ para evitar de punto flotante underflows y se desborda en el resultado del cálculo. Cualquier sugerencia sobre cómo elegir?

Algunas de las cosas que tengo a mi disposición en el momento de la elección de $\epsilon$:

• caducidad
• huelga
• la volatilidad de los
• tasa libre de riesgo
• precio del subyacente
• tiempo actual
• precio de la opción (calculados por el modelo)
• delta (calculados por el modelo)
• gamma (calculados por el modelo)

Answer 1

Deje que $\beta$ denotar la relativa precisión de la máquina, generalmente de $\beta = 1E-16$. Asumir la puede evaluar el valor de V hasta la precisión de $\alpha$. Mejor que te puede pasar es $\alpha = \beta \cdot V$ si $V$ es no subdesbordamiento o desbordamiento. A continuación, se puede calcular la diferencia finita hasta la precisión de 4 $\alpha / \epsilon$ (el 4 podría ser una estimación aproximada, pero se trata del hecho de que puede haber un adicional de cancelación de la diferencia finita de la relación de orden $\beta$ y usamos $\alpha > \beta \cdot V$.

Por lo tanto se puede calcular la diferencia finita de hasta $4 \alpha / \epsilon$. Por otro lado, desde la expansión de Taylor, la aproximación de error de una diferencia finita es de $C \epsilon$, donde $C$ es un obligado en la segunda derivada. La mejor opción de $\epsilon$ es el valor mínimo de $\epsilon \mapsto 4 \alpha / \epsilon + C \epsilon$, que es alcanzado por $-4\alpha/\epsilon^2 + C = 0$, es decir $\epsilon = 2 \cdot \sqrt{\alpha/C}$. Si el árbol alcanza máquina de la precisión, es decir, $\alpha = \beta V$, entonces usted debe elegir $\epsilon = 2 \sqrt{\frac{V}{V"}} \cdot \sqrt{\beta} = 2 \sqrt{\frac{V}{V"}} 1E-8$. En la última ecuación V denotar "el orden de magnitud del valor y $V$ el orden de magnitud de la derivada segunda. Claramente, si la segunda derivada es pequeña, puede utilizar grandes cambios.