La regresión en una constante

Question

Si tengo observaciones de $y_{i}$ y $x_{i}$, que se yo.yo.d. También tengo OLS supuestos tales como $E(\epsilon_{i} \mid X_{i})= 0$, mi qustion es: Si yo proyecto $y_{i}$ en un constante $\mu$, es decir, hemos modelo $y_{i} = \mu + \epsilon_{i}$. No encontrar el estimador OLS $\hat\mu$ tiene nada que ver con $x_{i}$? Porque en mis opiniones, $x_{i}$ nunca surge. Gracias~

Answer 1

Así que, básicamente, la pregunta es:
Si sé que el promedio ($\hat{\mu}$) de las temperaturas diarias ($y_i$) del año pasado, eso no me dice nada acerca de cómo muchas personas han nacido ($x_i$) cada día?

Como era de esperar, la respuesta es no.

Lo más que puede conseguir es el promedio de los $x_i$ serie si tienes los parámetros de un proceso imparcial de regresión entre $x_i$ y $y_i$.

Answer 2

Creo que no tendrá nada que ver con $x_i$. Aquí está mi pensamiento:

Dada su configuración, en orden a encontrar $\hat{\mu}$, le regresan $y$ en $n\times1$ vector de unos, $\begin{bmatrix}1\\1\\ \vdots \\1\end{bmatrix}$ ,que llamaremos $\iota$ (iota). Entonces tenemos $\hat{\mu}=(\iota'\iota)^{-1}\iota y=\frac{1}{n}\iota i=\bar{y}$. Por lo que $x$, no juega un papel aquí.

Nota de la matriz de proyección $P_{\iota} = \iota(\iota'\iota)^{-1}\iota'=\frac{1}{n}\iota\iota'$, y $P_{\iota}y=\bar{y}$.