Dado el precio de una opción call :
$$C = \mathbb{E}\left[ D_{0,T} (s-K)1_{s>K} |\mathcal{F_0}\derecho] $$
con $D_{0,T}=e^{-\int_0^Tr(u)du}$
Leí en alguna parte que la aplicación de Itô da :
$$cc = \mathbb{E} \left[d D_{0,T} (s-K)1_{s>K} |\mathcal{F_0}\derecho] $$
$$cc = \mathbb{E} \left[ \frac{dD_{0,T}}{dT} (S_T-K) 1_{S_T>K} dT+ D_{0,T} \frac{d}{ds} \left[ (s-K)1_{s>K} \derecho] \biggr\rvert_{s=S_T} dS_T + D_{0,T}\frac{1}{2}\frac{d^2}{ds^2} \left[ (s-K)1_{s>K} \derecho] \biggr\rvert_{s=S_T} dS_T dS_T |\mathcal{F_0}\derecho] $$
Mis preguntas son :
1) ¿por Qué los $d$ puede ser colocado dentro de la $\mathbb{E} $? Me refiero a ¿por qué hace esto ? :
$$d\int D_{0,T}(s-K)1_{s>K}\phi_{S_T}(s)ds=\int d \left[ D_{0,T}(s-K)1_{s>K}\phi_{S_T}(s)\right]ds$$
2) cuando miro a este término : $D_{0,T} \frac{d}{ds} \left[ (s-K)1_{s>K} \derecho] \biggr\rvert_{s=S_T} dS_T$ no sé de dónde viene, porque para mí cuando yo no aplica Itô que obtengo :
$$\int d \left[ D_{0,T}(s-K)1_{s>K}\phi_{S_T}(s)\right]ds = \int \left[ (...)dT+\frac{d}{ds}\left[ D_{0,T}(s-K)1_{s>K}\phi_{S_T}(s) \right]dS_T+\frac{1}{2}(...)dS_TdS_T \derecho] ds$$
centrándose en el $\int \left[ \frac{d}{ds}\left[ D_{0,T}(s-K)1_{s>K}\phi_{S_T}(s) \right]dS_T \derecho] ds$ parte I get :
$$\int \left[ \frac{d}{ds}\left[ D_{0,T}(s-K)1_{s>K}\phi_{S_T}(s) \right]dS_T \derecho] ds =\int D_{0,T} \left[ \frac{d}{ds}\left[ (s-K)1_{s>K}\phi_{S_T}(s) \right]dS_T \derecho] ds \mathbf{\mathbin{\color{rojo}\neq}} \int D_{0,T} \phi_{S_T}(s) \left[ \frac{d}{ds}\left[ (s-K)1_{s>K} \derecho]dS_T \derecho] ds = \mathbb{E}\left[ D_{0,T}\frac{d}{ds}\left[ (s-K)1_{s>K} \derecho]dS_T \derecho] $$
cualquier ayuda en esto ?
3) no $T$ constante? la madurez de la opción de llamada. ¿Por qué encontramos $dT$ en Itô como si se tratara de la hora actual $t$ ? si hemos aplicado Itô a $C_t$ o $C(t,S_t)$ ciertamente encontrar $dt$ plazo y no un $dT$ uno !
