Encuentre el precio Black-Scholes de una opción que paga $$(S_T^{\alpha} - K)_{+}$$ en el momento $T$ .
Solución - El precio a plazo viene dado por
$$F_T(t) = e^{r(T-t)}S_t$$
Así que,
$$F_T(0) = e^{rT}S_0$$
y
$$F_T(T) = S_T = F_T(0)e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 T + \sigma\sqrt{T}N(0,1)}$$
Así que,
\begin{align*} F_T(T)^{\alpha} &= F_T(0)^{\alpha}e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 T \alpha + \sigma\alpha\sqrt{T}N(0,1)}\\ &= F_T(0)^{\alpha}e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 T \alpha + \frac{\sigma^2 \alpha^2}{2}}e^{- \frac{\sigma^2 \alpha^2}{2} + \sigma\alpha\sqrt{T}N(0,1)} \end{align*}
A continuación, utilice la fórmula de Black para una opción de compra con precio a plazo
$$F_T(0)^{\alpha}e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 T \alpha + \frac{\sigma^2 \alpha^2}{2}}$$
y la volatilidad $\alpha\sigma$ .
Pregunta:
No entiendo por qué Joshi divide la exponencial en esta parte de la solución:
\begin{align*} F_T(T)^{\alpha} &= F_T(0)^{\alpha}e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 T \alpha + \sigma\alpha\sqrt{T}N(0,1)}\\ &= F_T(0)^{\alpha}e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 T \alpha + \frac{\sigma^2 \alpha^2}{2}}e^{- \frac{\sigma^2 \alpha^2}{2} + \sigma\alpha\sqrt{T}N(0,1)} \end{align*}
No entiendo la lógica de concluir entonces que utilizamos la fórmula de Black para una opción de compra con precio a plazo
$$F_T(0)^{\alpha}e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 T \alpha + \frac{\sigma^2 \alpha^2}{2}}$$
y la volatilidad $\alpha \sigma$ .
Por último, en el ejercicio 21 se nos pide que pongamos precio a la opción de venta $(K - S_T^{\alpha})_{+}$ . Los pasos son exactamente los mismos el término de volatilidad es $\alpha\sigma \sqrt{T}$ Lo cual no tiene sentido para mí. Cualquier sugerencia sobre estos puntos será muy apreciada.
