Es " $f(k,l)$ es el rendimiento decreciente de la escala $\Leftrightarrow f_{ll}f_{kk}-f_{kl}^2>0$ "¿Siempre es cierto?

Question

Para las producciones $f(k,l)$ que son continuamente diferenciables, es la proposición de que

" $f(k,l)$ es el rendimiento decreciente de la escala $\Leftrightarrow f_{ll}f_{kk}-f_{kl}^2>0$ "

siempre es cierto, lo he comprobado para las funciones Cobb-Douglas y creo que también se cumple para todas las funciones de elasticidad constante, ¿puede alguien darme alguna pista o mostrar algún contraejemplo?

Aquí definimos $f(k,l)$ para que el retorno a la escala sea decreciente si $f(tk,tl)<tf(k,l)$ para $t>1$ para todos $(k,l)$ en el dominio.

Answer 1

En general, la declaración es equivocada . He aquí un contraejemplo:

Suponga que tiene $f(k,l) = -k l^\beta$ con $\beta >0$ y $(k,l)\in\mathbb{R}^2_{++}$ (se puede interpretar $f$ como función de producción para un " mal "). Entonces lo tienes: $$f(tk,tl) = - t^{1+\beta} k l^\beta = t^{1+\beta} f(k,l) < t f(k,l)$$ para que $f(k,l)$ es el rendimiento decreciente de la escala.

Ahora vamos a evaluar $f_{ll}f_{kk} - f^2_{kl}$ . Desde $f$ es lineal en $k$ tenemos que $f_{kk}$ es cero, por lo que es $f_{ll}f_{kk}$ . Por otro lado, tenemos $f_{kl} = -\beta l^{\beta-1}$ para que en general tengamos: $$\begin{equation} f_{ll}f_{kk} - f^2_{kl} = 0 - \left[ -\beta l^{\beta-1} \right]^2 = - \beta^2 l^{2(\beta -1)} <0 \end{equation}$$

Entonces, dónde está el truco ?

El hecho es que $f_{ll}f_{kk} - f^2_{kl} > 0$ es no es una condición suficiente para concluir que la arpillera de $f(k,l)$ es semidefinido negativo y por tanto $f$ es cóncava porque también hay que imponer restricciones al signo del menor principal de orden 1 de la matriz hessiana.

Sin embargo, siempre que la matriz hessiana sea efectivamente semidefinida negativa, entonces se concluye $f$ es cóncavo y los rendimientos decrecientes de la escala seguirán, la afirmación es entonces válida.

Answer 2

Examinamos la función $F(K,L)$ que es homogénea de grado $\lambda < 1$ . Entonces tenemos que sus derivadas parciales son homogéneas de grado $\lambda -1$ .

Para una función homogénea $F(K,L)$ de grado $\lambda$ sostiene que

$$K\cdot F_K + L\cdot F_L = \lambda \cdot F(K,L) \tag{1}$$

Análogamente para las derivadas parciales tenemos

$$F_L:\;K\cdot F_{LK} + L\cdot F_{LL} = (\lambda -1)F_L <0 \implies K\cdot F_{LK} < -L\cdot F_{LL} \tag{2}$$

y

$$F_K: L\cdot F_{KL} + K\cdot F_{KK} = (\lambda -1)F_K <0 \implies L\cdot F_{KL} < -K\cdot F_{KK} \tag{3}$$

Si el parcial cruzado es no negativo, entonces necesariamente los segundos parciales son negativos, y también ambos lados en las desigualdades anteriores son positivos. Entonces multiplicando por cada lado tenemos

$$K\cdot F_{LK} \cdot L\cdot F_{KL} < L\cdot (-F_{LL}) \cdot K\cdot (-F_{KK})$$

$$\implies F_{KK}\cdot F_{LL} > F^2_{KL}$$

Así que un suficiente La condición para la concavidad (conjunta) de una función de producción en dos variables que presenta rendimientos decrecientes a escala, es que la derivada parcial cruzada sea no negativa.

Nótese que esta condición suficiente relacionada con los parciales cruzados garantiza también el "primer paso" para la concavidad conjunta, es decir, que los parciales de segundo orden sean negativos (sólo ellos proporcionan la concavidad parcial de la función de producción).

Answer 3

Para una función de producción de un solo producto, los rendimientos decrecientes a escala implican la concavidad de $f$ . Creo que puedes encontrar este resultado en el capítulo 5 de MWG, como una proposición o un ejercicio. La condición que tienes viene de considerar el hessiano de $f$ y mostrando que el determinante es positivo. Para más información sobre las condiciones del hessiano, esta es una referencia útil: https://mjo.osborne.economics.utoronto.ca/index.php/tutorial/index/1/cvn/t