La demanda derivada de Cobb-Douglas de la utilidad, la interpretación, verificación

Question

Yo derivados de la demanda, dada una Cobb-Douglas función de utilidad, pero no estoy realmente seguro de si lo hice correctamente. Estoy especialmente luchando con la suma de los signos y los subíndices de $i$ & $j$. Sería genial si alguien pudiera comprobar. Quiero maximizar la utilidad de los 2 productos, aquí $j$ y $i$.

$\ u(x_i)=\prod_{i=1}^n x^a_i$

$\ s.t.:M=\sum_{j=1}^n p_jx_j$

$\ L= \sum_{i=1}^n a_ilogx_i+\lambda(M-\sum_{j=1}^np_jx_j)$

$(1)\frac{\partial L}{\partial x_i} = \frac{a_i}{ x_i}-\lambda p_i=0$

$(2)\frac{\partial L}{\partial x_j} = \frac{a_j}{ x_j}-\lambda p_j=0$

$(3)\frac{\partial L}{\parcial \lambda} = M-\sum_{j=1}^np_jx_j=0$

a partir de (1) y (2) de la siguiente manera:

$\frac{p_i}{x_i} = \frac{a_i/x_i}{a_j/x_j}=\frac{a_ix_j}{a_jx_i}$

$x_j = \frac{p_ja_jx_i}{p_ja_j}$

$x_j$ en (3)

$M = \sum_{j=1}^np_j(\frac{p_ja_jx_i}{p_j/a_j})=0$

$x_i= \frac{a_iM}{\sum_{j=1}^na_jp_j}$

Por otra parte me gustaría interpretar lo que sucede si tenemos una eficiencia de choque para la buena $i$. Significado, buena $i$ se vuelve más barato. Esto conduce a un aumento en la renta relativa. Así que $M$ aumenta, lo que conduce a un aumento de la demanda de $x_i$, el resto se mantenga constante. Es eso correcto?

Answer 1

A partir de (1) y (2) se obtiene $$\frac{x_j}{x_i}=\frac{a_j p_i}{a_i p_j},$$ o, equivalentemente, $$x_j =\frac{a_j p_i}{a_i p_j} x_i.$$ Sustituyendo esto en la ecuación 3 por $j=2,...,n$ y $i=1$ (solución para la función de demanda para el bien 1), llegamos a la $$M=p_1x_1 + \sum_{j=2}^n p_j \frac{a_j p_1}{a_1 p_j} x_1$$ $$M=p_1x_1 + \sum_{j=2}^n \frac{a_j p_1}{a_1} x_1$$ $$M=p_1x_1 + \frac{p_1}{a_1} x_1\sum_{j=2}^n a_j$$ $$M=p_1x_1(1 + \frac{1}{a_1}\sum_{j=2}^n a_j).$$ Finalmente, la solución para $x_1$ obtenemos $$x_1^* = \frac{M}{p_1}(1+ \frac{\sum_{j=2}^n a_j}{a_1})^{-1}$$ $$x_1^* =\frac{a_1}{\sum_{j=1}^n a_j} \frac{M}{p_1}.$$

De forma análoga, $$x_i^*=\frac{a_i}{\sum_{j=1}^n a_j} \frac{M}{p_i},$$ para $i=1,...,$n.

Como es siempre el caso en las funciones de demanda derivada de una Cobb-Douglas función de utilidad, el consumidor gasta una constante participación en los ingresos de cada bien. Para ver esto, reordenar la ecuación anterior para obtener $$p_ix_i^*=\frac{a_i}{\sum_{j=1}^n a_j} M,$$ para $i=1,...,$n.